Разложение на множители
Самый надёжный способ решить уравнение, в котором переплетены разные функции, — перенести всё в одну часть и разложить на множители. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Этот приём заменяет деление, при котором теряются корни.
Приёмы разложения. 1) Общий множитель: \(\sin 2x - \sqrt3\cos x = \cos x(2\sin x - \sqrt3)\). 2) Формулы: \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), \(1 - \cos 2x = 2\sin^2 x\), \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\), \(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x\). 3) Группировка. Запрещено делить обе части на выражение, которое может обращаться в нуль (\(\sin x\), \(\cos x\), \(\sin x + \cos x\)).
Как это работает. Решим уравнение \(\sin 2x = \sqrt3\cos x\).
- Раскрываем двойной угол и переносим: \(2\sin x\cos x - \sqrt3\cos x = 0\).
- Выносим \(\cos x\): \(\cos x(2\sin x - \sqrt3) = 0\).
- \(\cos x = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\). \(\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}\): \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\). Ответ: три серии.
Ещё пример. Решите уравнение \(\sin x + \sin x\cos x = 0\).
Решение. \(\sin x(1 + \cos x) = 0\): \(\sin x = 0\), \(x = \pi k\); \(\cos x = -1\), \(x = \pi + 2\pi k\). Вторая серия содержится в первой. Ответ: \(x = \pi k\), \(k \in \mathbb Z\).
Лайфхак. Если одна серия корней входит в другую (\(\pi + 2\pi k\) входит в \(\pi k\)), в ответе оставляют только большую. Проверить вложение можно, отметив обе серии на окружности: точки одной серии — подмножество точек другой.
Типичная ошибка. Из \(\sin 2x = \sqrt3\cos x\) делят на \(\cos x\) и получают \(2\sin x = \sqrt3\). Теряется серия \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\). Деление на выражение с неизвестным без проверки — потеря баллов в задании 14.
На ЕГЭ. Разложение на множители — универсальный приём задания 14: уравнения вида \(F(x) \cdot G(x) = F(x) \cdot H(x)\) переписывают как \(F(x)(G(x) - H(x)) = 0\); например, \(\sqrt2\sin x\cos x = \sin x\) даёт \(\sin x(\sqrt2\cos x - 1) = 0\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward