Отбор корней двойным неравенством

Пункт б) задания 14 требует указать корни, принадлежащие заданному отрезку. Первый способ — алгебраический: для каждой серии записывают двойное неравенство, решают его относительно \(k\) и выбирают целые \(k\).

Как это работает. Найдём корни серии \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{5\pi}{2}; -\pi\right]\).

1. Записываем неравенство: \(-\dfrac{5\pi}{2} \le \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \le -\pi\). Делим на \(\pi\): \(-\dfrac52 \le \dfrac16 + 2k \le -1\).
2. Вычитаем \(\dfrac16\) и делим на 2: \(-\dfrac{16}{12} \le k \le -\dfrac{7}{12}\), то есть \(-1{,}33 \le k \le -0{,}58\).
3. Единственное целое \(k = -1\): \(x = \dfrac{\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{11\pi}{6}\). Проверка: \(-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{15\pi}{6} \le -\dfrac{11\pi}{6} \le -\dfrac{6\pi}{6}\). Ответ: \(-\dfrac{11\pi}{6}\).

Ещё пример. Сколько корней уравнения \(\cos x = \dfrac12\) лежит на отрезке \(\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]\)?
Решение. Серия \(x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\). Для \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\): \(\dfrac32 \le \dfrac13 + 2k \le 3\), \(\dfrac{7}{12} \le k \le \dfrac43\), \(k = 1\), корень \(\dfrac{7\pi}{3}\). Для \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\): \(\dfrac32 \le -\dfrac13 + 2k \le 3\), \(\dfrac{11}{12} \le k \le \dfrac53\), \(k = 1\), корень \(\dfrac{5\pi}{3}\). Ответ: 2 корня: \(\dfrac{5\pi}{3}\) и \(\dfrac{7\pi}{3}\).