Отбор корней на единичной окружности

Второй способ отбора — геометрический: на окружности отмечают точки всех серий и дугу, соответствующую отрезку. Корни, попавшие на дугу, выписывают, прибавляя к точкам нужное число оборотов. Этот способ нагляден и быстр, если длина отрезка не превосходит \(2\pi\).

Как это работает. Найдём корни уравнения \(\sin x = -\dfrac12\) на отрезке \(\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\).

1. Точки серий: \(-\dfrac{\pi}{6}\) (она же \(\dfrac{11\pi}{6}\)) и \(\dfrac{7\pi}{6}\) — нижняя половина окружности.
2. Концы отрезка: \(\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\) — верхняя точка после одного оборота; \(4\pi = 2\pi + 2\pi\) — точка \((1; 0)\) после двух оборотов. Дуга идёт от верхней точки через левую и нижнюю к правой — три четверти окружности, во «втором обороте».
3. На дуге обе точки серий. Корни: \(\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{19\pi}{6}\) и \(\dfrac{11\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{23\pi}{6}\). Проверка: \(\dfrac{15\pi}{6} \le \dfrac{19\pi}{6} \lt \dfrac{23\pi}{6} \le \dfrac{24\pi}{6}\). Ответ: \(\dfrac{19\pi}{6}\); \(\dfrac{23\pi}{6}\).

Ещё пример. Укажите корни уравнения \(\cos x = 0\) на отрезке \(\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Решение. Точки серии \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\) — верхняя и нижняя точки окружности. Концы отрезка: \(-2\pi\) — точка \((1; 0)\) после одного оборота по часовой стрелке, \(-\dfrac{\pi}{2}\) — нижняя точка. Дуга от \(-2\pi\) до \(-\dfrac{\pi}{2}\) против часовой стрелки проходит через верхнюю точку, которой отвечает число \(-\dfrac{3\pi}{2}\), и заканчивается в нижней точке \(-\dfrac{\pi}{2}\). Ответ: \(-\dfrac{3\pi}{2}\); \(-\dfrac{\pi}{2}\).