Уравнения с ОДЗ. Оформление задания 14

Если в уравнении есть дробь или корень, часть решений исключается областью допустимых значений. ОДЗ записывают первой строкой, решают уравнение числителя или подкоренного выражения, а затем выбрасывают точки, запрещённые ОДЗ, — удобнее всего на окружности.

Как это работает. Решим уравнение \(\dfrac{2\sin^2 x - \sin x}{\cos x + 1} = 0\).

1. ОДЗ: \(\cos x \ne -1\), то есть \(x \ne \pi + 2\pi k\) — выколота левая точка окружности.
2. Числитель: \(\sin x(2\sin x - 1) = 0\): \(\sin x = 0\) (\(x = \pi k\)) или \(\sin x = \dfrac12\) (\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\)).
3. Серия \(x = \pi k\) содержит запрещённые точки \(\pi + 2\pi k\); остаётся \(x = 2\pi k\). Ответ: \(2\pi k\); \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\); \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb Z\).

Ещё пример. Решите уравнение \(\sqrt{-\cos x}\,(2\sin x + 1) = 0\).
Решение. ОДЗ: \(\cos x \le 0\) — левая половина окружности, включая верхнюю и нижнюю точки. \(\cos x = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\) — входят в ОДЗ. \(\sin x = -\dfrac12\): \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) (правая половина — не подходит) и \(x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k\) (левая — подходит). Ответ: \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\); \(\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k\).