Взаимное расположение прямых и плоскостей

11 заданий

В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться — не лежать в одной плоскости. Прямая и плоскость либо пересекаются в точке, либо параллельны, либо прямая лежит в плоскости. Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.

Факты. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; через прямую и точку вне её — тоже; через две пересекающиеся или две параллельные прямые — тоже. Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости. Признак параллельности плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, линии пересечения параллельны. Скрещивающиеся прямые: через одну из них проходит плоскость, параллельная другой.

Как это работает. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) определим расположение прямых \(AB\) и \(C_1D_1\); \(AB\) и \(B_1C_1\); \(AA_1\) и \(BC\).

\(AB \parallel DC\), а \(DC \parallel D_1C_1\), значит, \(AB \parallel C_1D_1\) — параллельны, лежат в одной плоскости (диагональное сечение).
\(AB\) и \(B_1C_1\): не пересекаются (нет общих точек), не параллельны (\(B_1C_1 \parallel BC\), а \(BC \perp AB\)) — скрещиваются.
\(AA_1\) и \(BC\): тоже скрещивающиеся. Ответ: параллельны; скрещиваются; скрещиваются.

Ещё пример. Сколько рёбер куба параллельны ребру \(AB\), сколько пересекают его и сколько скрещиваются с ним?
Решение. Параллельны: \(DC\), \(A_1B_1\), \(D_1C_1\) — 3. Пересекают (имеют общую вершину): \(AD\), \(AA_1\), \(BC\), \(BB_1\) — 4. Скрещиваются: остальные \(12 - 1 - 3 - 4 = 4\): \(A_1D_1\), \(B_1C_1\), \(CC_1\), \(DD_1\). Ответ: 3; 4; 4.

Лайфхак. Чтобы проверить, скрещиваются ли прямые, найдите плоскость, содержащую одну из них, и посмотрите, пересекает ли вторая эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой. Если да — скрещиваются.

Типичная ошибка. Прямые, которые на рисунке не пересекаются, объявляют параллельными. В пространстве непересекающиеся прямые чаще скрещиваются; параллельность нужно обосновать (общая плоскость).

На ЕГЭ. Задание 15 (стереометрия, 3 балла) начинается с пункта а) — доказательства: «докажите, что прямая параллельна плоскости», «что плоскости перпендикулярны». Признаки этого урока — язык таких доказательств.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward