Перпендикуляр, наклонная, теорема о трёх перпендикулярах

11 заданий

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в ней; достаточно проверить две пересекающиеся прямые. Из точки вне плоскости можно опустить перпендикуляр (кратчайшее расстояние) и провести наклонные; связь между ними даёт теорема о трёх перпендикулярах.

Факты. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Перпендикуляр короче любой наклонной; равные наклонные имеют равные проекции. Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной. Если прямая перпендикулярна плоскости, то любая плоскость через неё перпендикулярна данной.

Как это работает. Из точки \(S\) на плоскость опущен перпендикуляр \(SO = 12\) и проведены наклонные \(SA = 13\) и \(SB = 15\). Найдём проекции наклонных и расстояние \(AB\), если угол \(AOB\) прямой.

Проекции — катеты прямоугольных треугольников: \(OA = \sqrt{169 - 144} = 5\), \(OB = \sqrt{225 - 144} = 9\).
Треугольник \(AOB\) прямоугольный: \(AB = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}\).
Ответ: 5 и 9; \(\sqrt{106}\).

Ещё пример. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) докажите, что \(BD \perp SC\).
Решение. Проекция наклонной \(SC\) на плоскость основания — \(OC\), где \(O\) — центр квадрата. Диагонали квадрата перпендикулярны: \(BD \perp OC\). По теореме о трёх перпендикулярах \(BD \perp SC\). Что и требовалось.

Лайфхак. Схема применения теоремы о трёх перпендикулярах: найдите перпендикуляр из вершины на плоскость, спроецируйте наклонную, проверьте перпендикулярность в плоскости (чаще всего — диагонали квадрата или высота равнобедренного треугольника), сделайте вывод о пространственной перпендикулярности.

Типичная ошибка. Считают прямую перпендикулярной плоскости, проверив перпендикулярность только одной прямой в ней. Нужны две пересекающиеся.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт а): «докажите, что \(SC \perp BD\)», «докажите, что плоскость \(SAC\) перпендикулярна основанию». Теорема о трёх перпендикулярах — самый частый инструмент; расстояние от точки до плоскости (урок 6) — её продолжение.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward