Задачи на совместную работу

Во всех задачах на работу действует формула \(A = pt\): работа равна производительности, умноженной на время. Если объём работы не указан, всю работу принимают за 1. Тот, кто выполняет работу за \(a\) часов, за час делает \(\dfrac1a\) её часть. При совместной работе производительности складываются, а у наполняющей и сливающей труб — вычитаются.

Если первый выполняет работу за \(a\) часов, а второй — за \(b\) часов, то вместе они сделают её за \(\dfrac{1}{\dfrac1a + \dfrac1b} = \dfrac{ab}{a + b}\) часов.

Пример. Двое рабочих, работая вместе, выполняют заказ за 12 дней. За сколько дней выполнит заказ первый рабочий, если за два дня он выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
Решение. Пусть производительности \(p_1\) и \(p_2\). Из условия \(2p_1 = 3p_2\), то есть \(p_2 = \dfrac23 p_1\). Вместе: \(\left(p_1 + \dfrac23 p_1\right) \cdot 12 = 1\), \(\dfrac53 p_1 = \dfrac{1}{12}\), \(p_1 = \dfrac{1}{20}\). Первый выполнит заказ за 20 дней.

Пример. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ из 60 деталей на 3 часа быстрее. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Решение. Пусть второй делает \(x\) деталей в час. Тогда \(\dfrac{60}{x} - \dfrac{60}{x + 10} = 3\), \(600 = 3x(x + 10)\), \(x^2 + 10x - 200 = 0\), \(x = 10\) (корень \(-20\) не подходит). Ответ: 10.

Пример. Бассейн наполняется первой трубой за 6 часов, а через вторую трубу полный бассейн опустошается за 10 часов. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы?
Решение. За час объём воды меняется на \(\dfrac16 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{15}\) бассейна, значит, бассейн наполнится за 15 часов.