Задание 14: показательные и логарифмические уравнения с отбором корней

После замены \(t = a^x\) показательное уравнение обычно становится квадратным. Помните, что \(t \gt 0\): отрицательные корни отбрасывают с объяснением. Корень вида \(x = \log_a t\) сравнивают с концами отрезка через степени: при \(a \gt 1\)

\[p \le \log_a t \le q \quad \Leftrightarrow \quad a^p \le t \le a^q.\]

Пример. а) Решите уравнение \(4^x - 14 \cdot 2^x + 40 = 0\). б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \([3; 5]\).
Решение. а) \(t = 2^x \gt 0\): \(t^2 - 14t + 40 = 0\), \(t = 4\) или \(t = 10\), то есть \(x = 2\) или \(x = \log_2 10\). б) \(2 \notin [3; 5]\). Так как \(8 \lt 10 \lt 16\), то \(3 \lt \log_2 10 \lt 4\), корень \(\log_2 10\) лежит на отрезке.

Пример. а) Решите уравнение \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0\). б) Укажите корни на отрезке \(\left[\sqrt3; 3\right]\).
Решение. а) \(\log_2 x = 1\) или \(\log_2 x = 2\): \(x = 2\) или \(x = 4\). б) \(\sqrt3 \lt 2\), так как \(3 \lt 4\); значит, \(2 \in \left[\sqrt3; 3\right]\), а \(4 \gt 3\) — нет. Ответ б): 2.

Пример. Принадлежит ли число \(\log_3 5\) отрезку \([1{,}5; 2]\)?
Решение. \(3^{1{,}5} = \sqrt{27} \gt 5\), так как \(27 \gt 25\). Значит, \(\log_3 5 \lt 1{,}5\), и число отрезку не принадлежит.