Задание 15: структура решения и оформление
Задание 15 — одно неравенство на 2 балла, обычно логарифмическое или показательное, часто в виде дроби или суммы. Решение строится по одной схеме: ОДЗ, упрощение (замена или рационализация), метод интервалов, пересечение с ОДЗ, ответ промежутками.
Схема. 1) ОДЗ — все условия системой, с итоговым промежутком. 2) Преобразование: свернуть логарифмы, вынести показатели, сделать замену или рационализировать. 3) Метод интервалов с чертежом: нули, выколотые точки, знаки. 4) Пересечение с ОДЗ — второй чертёж или явная запись. 5) Ответ — объединение промежутков, скобки по строгости. Типовые структуры: \(\dfrac{A(x)}{B(x)} \le 0\) с логарифмами в числителе и знаменателе; \(\log_a^2 f + p\log_a f + q \le 0\); сумма логарифмов с разными основаниями, приводимыми к одному.
Как это работает. Решим неравенство \(\dfrac{\log_2(x + 1) - 2}{\log_2(x + 1) - 1} \le 0\).
- ОДЗ: \(x + 1 \gt 0\) и \(\log_2(x + 1) \ne 1\): \(x \gt -1\), \(x \ne 1\).
- Замена \(t = \log_2(x + 1)\): \(\dfrac{t - 2}{t - 1} \le 0\), откуда \(1 \lt t \le 2\).
- Возврат: \(1 \lt \log_2(x + 1) \le 2\), \(2 \lt x + 1 \le 4\), \(1 \lt x \le 3\). ОДЗ выполнена. Ответ: \((1; 3]\).
Ещё пример. Решите неравенство \(\log_2(x - 1) + \log_2(x + 2) \le 2\).
Решение. ОДЗ: \(x \gt 1\). Сворачиваем: \(\log_2\big((x - 1)(x + 2)\big) \le \log_2 4\), \((x - 1)(x + 2) \le 4\), \(x^2 + x - 6 \le 0\), \(-3 \le x \le 2\). С ОДЗ: \(1 \lt x \le 2\). Ответ: \((1; 2]\).
Лайфхак. Делайте два чертежа: один для метода интервалов, второй — для пересечения с ОДЗ. Совмещение всего на одном рисунке — главный источник ошибок со скобками. Ответ переписывайте с чертежа, проверяя каждую точку: включена или выколота.
Типичная ошибка. Потеря выколотой точки знаменателя или ОДЗ в итоговом ответе (\([1; 3]\) вместо \((1; 3]\)) стоит балла: ответ с одной неверной граничной точкой оценивается в 1 балл из 2.
На ЕГЭ. Критерии задания 15: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — верный ход решения, но ответ отличается граничными точками или потерян один промежуток; 0 — иначе. Записывать ОДЗ и чертежи — не формальность, а условие получения баллов.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward