Задание 17: модель, исследование, ответ

Решение прикладной задачи на наибольшее или наименьшее значение состоит из пяти шагов.

1. Выбрать переменную \(x\) и указать, какие значения она может принимать по смыслу задачи.
2. Выразить исследуемую величину как функцию одной переменной; остальные величины выразить через \(x\) из условия.
3. Найти производную и точки, в которых она равна нулю.
4. Определить знаки производной на промежутке (или сравнить значения в критических точках и на концах отрезка).
5. Ответить именно на вопрос задачи: размер, время или само наибольшее значение.

Пример. Из квадратного листа жести со стороной 60 см вырезают по углам одинаковые квадраты и сгибают коробку без крышки. Какой должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объём коробки был наибольшим?
Решение. Пусть сторона квадрата \(x\) см, \(0 \lt x \lt 30\). Объём \(V(x) = x(60 - 2x)^2\). \(V'(x) = (60 - 2x)^2 - 4x(60 - 2x) = (60 - 2x)(60 - 6x)\). На промежутке \((0; 30)\) производная обращается в нуль только при \(x = 10\), слева она положительна, справа отрицательна. Значит, \(x = 10\) — точка максимума, и наибольший объём \(V(10) = 10 \cdot 40^2 = 16\,000\) см³. Ответ: 10 см.

Пример. Прямоугольный участок площадью 800 м² огораживают забором с трёх сторон, четвёртая сторона — стена дома. При каких размерах длина забора наименьшая?
Решение. Пусть стороны, перпендикулярные стене, равны \(x\) м, тогда сторона вдоль стены \(\dfrac{800}{x}\) м. Длина забора \(L(x) = 2x + \dfrac{800}{x}\), \(x \gt 0\). \(L'(x) = 2 - \dfrac{800}{x^2} = 0\) при \(x = 20\); при \(x \lt 20\) производная отрицательна, при \(x \gt 20\) положительна. Наименьшая длина 80 м при размерах 20 м и 40 м.