Задание 20: суммы, группы и средние

Задачи о наборах чисел решают через несколько простых фактов.

• Сумма последовательных чисел от \(a\) до \(b\) равна \(\dfrac{(a + b)(b - a + 1)}{2}\).
• Если числа разбиты на \(k\) групп с равными суммами, то общая сумма делится на \(k\), а сумма каждой группы не меньше наибольшего числа.
• Среднее арифметическое равно сумме, делённой на количество; при замене одного числа сумма меняется на разность нового и старого чисел.

Пример. Можно ли разбить числа 1, 2, …, 10 на две группы с равными суммами? А на пять групп?
Решение. Сумма \(55\) нечётна, на две группы разбить нельзя. На пять групп можно, сумма каждой 11: \(10 + 1 = 9 + 2 = 8 + 3 = 7 + 4 = 6 + 5\).

Пример. На какое наибольшее число групп с равными суммами можно разбить числа от 3 до 17?
Решение. Оценка: сумма \(S = 150\); если групп \(k\), то \(\dfrac{150}{k}\) — целое число, не меньшее 17. Значит, \(k\) — делитель 150 и \(k \le 8\); наибольший такой делитель — 6. Пример: \(17 + 8 = 16 + 9 = 15 + 10 = 14 + 11 = 13 + 12 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 25\). Ответ: 6.

Пример. Среднее арифметическое десяти чисел равно 7. Одно из чисел заменили на 30, и среднее стало равно 8,5. Какое число заменили?
Решение. Сумма выросла с 70 до 85, то есть на 15. Значит, заменили число \(30 - 15 = 15\).