Знак производной и монотонность
Производная положительна там, где функция растёт, и отрицательна там, где убывает. Это главное применение производной: чтобы узнать, как ведёт себя функция, достаточно решить неравенство \(f'(x) \gt 0\).
Правило. Если \(f'(x) \gt 0\) на промежутке, функция возрастает на нём; если \(f'(x) \lt 0\) — убывает. Промежутки монотонности разделяются точками, где \(f'(x) = 0\) или не существует. Алгоритм: найти производную, её нули, расставить знаки методом интервалов, выписать промежутки. Концы промежутков включают, если функция там непрерывна.
Как это работает. Найдём промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\).
- \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)\).
- Нули производной: \(-1\) и 3. Знаки: плюс при \(x \lt -1\), минус на \((-1; 3)\), плюс при \(x \gt 3\).
- Функция возрастает на \((-\infty; -1]\) и \([3; +\infty)\), убывает на \([-1; 3]\). Ответ: указаны.
Ещё пример. На рисунке график производной \(y = f'(x)\): он выше оси на \((-5; -2)\) и \((4; 8)\), ниже — на \((-2; 4)\). Найдите промежутки убывания функции \(f\) на отрезке \([-5; 8]\).
Решение. Функция убывает там, где производная отрицательна: на \([-2; 4]\). Ответ: \([-2; 4]\).
Лайфхак. При разборе рисунка в задании 9 первым делом прочитайте, что изображено: график функции или график производной. Для графика производной «выше оси» означает «функция возрастает», а не «функция положительна».
Типичная ошибка. По графику производной ищут промежутки, где сама производная возрастает, вместо промежутков, где она положительна. Монотонность функции определяет знак производной, а не её рост.
На ЕГЭ. Задание 9: «На рисунке изображён график производной функции. Найдите количество целых точек, в которых функция возрастает» — считают целые \(x\) под положительной частью графика производной.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward