Точки экстремума
В точке максимума функция перестаёт расти и начинает убывать — производная меняет знак с плюса на минус. В точке минимума — с минуса на плюс. Нуль производной без смены знака экстремума не даёт: функция «притормаживает» и продолжает идти в ту же сторону.
Правило. Критические точки — те, где \(f'(x) = 0\) или не существует. Точка \(x_0\) — точка максимума, если при переходе через неё \(f'\) меняет знак с «\(+\)» на «\(-\)»; минимума — с «\(-\)» на «\(+\)». Если знак не меняется, экстремума нет (\(y = x^3\) в нуле). Значение функции в точке экстремума — максимум или минимум функции.
Как это работает. Найдём точки экстремума функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5\) и её максимум.
- \(f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)\); критические точки \(-1\) и 3.
- Знаки: \(+\), \(-\), \(+\). В точке \(-1\) смена с плюса на минус — максимум; в точке 3 с минуса на плюс — минимум.
- Максимум функции: \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\). Ответ: точка максимума \(-1\), точка минимума 3; максимум 10.
Ещё пример. Найдите точку минимума функции \(y = x^3 - 6x^2 + 32\).
Решение. \(y' = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)\); нули 0 и 4. Знаки: \(+\), \(-\), \(+\): в нуле максимум, в точке 4 — минимум. Ответ: 4.
Лайфхак. Для многочлена третьей степени с положительным старшим коэффициентом левая критическая точка — всегда максимум, правая — минимум (знаки производной \(+\), \(-\), \(+\)). При отрицательном старшем коэффициенте — наоборот.
Типичная ошибка. Считают каждую точку, где производная равна нулю, точкой экстремума. У \(y = x^3\) производная \(3x^2\) равна нулю в нуле, но знак не меняет — экстремума нет.
На ЕГЭ. Задание 9: «Найдите точку максимума функции \(y = x^3 - 12x + 7\)» — ответ \(-2\). В задании 17 точка экстремума — решение прикладной задачи: при каком размере поля площадь наибольшая.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward