По графику производной — о функции

11 заданий

В задании 9 часто дан график не функции, а её производной. Тогда о функции рассуждают только через знак и нули производной: где график производной выше оси — функция растёт, где пересекает ось — экстремум, где касается оси, не пересекая, — экстремума нет.

Словарь перевода. График \(f'\) выше оси \(\Rightarrow\) \(f\) возрастает. Ниже оси \(\Rightarrow\) \(f\) убывает. \(f'\) пересекает ось сверху вниз \(\Rightarrow\) точка максимума \(f\). Снизу вверх \(\Rightarrow\) точка минимума. Касается оси без пересечения \(\Rightarrow\) не экстремум. Число точек экстремума \(f\) — число пересечений графика \(f'\) с осью. Наибольшее значение \(f\) на отрезке — на правом конце участка возрастания или в точке максимума; если \(f' \gt 0\) на всём отрезке — на правом конце.

Как это работает. График \(y = f'(x)\) на отрезке \([-6; 6]\) пересекает ось абсцисс в точках \(-4\), \(-1\), \(2\), \(5\); на \((-6; -4)\) он ниже оси. Найдём точки экстремума функции и точки максимума.

Знаки производной по участкам: \(-\) на \((-6; -4)\), затем чередуются: \(+\) на \((-4; -1)\), \(-\) на \((-1; 2)\), \(+\) на \((2; 5)\), \(-\) на \((5; 6)\).
Точки экстремума — все четыре нуля производной (знак меняется в каждом).
Максимумы там, где \(+\) сменяется \(-\): точки \(-1\) и 5. Минимумы: \(-4\) и 2. Ответ: 4 точки экстремума; точки максимума \(-1\) и 5.

Ещё пример. График производной на отрезке \([-3; 9]\) положителен всюду, кроме точки \(x = 4\), где он касается оси. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?
Решение. Производная не меняет знак — функция возрастает на всём отрезке. Наибольшее значение — на правом конце, при \(x = 9\). Ответ: 9.

Лайфхак. Над графиком производной надпишите знаки «\(+\)» и «\(-\)» на каждом участке, а под нулями стрелки: «\(+ \to -\)» — максимум, «\(- \to +\)» — минимум. После этого любой вопрос задания 9 читается с рисунка за секунды.

Типичная ошибка. Ищут точки максимума функции как вершины графика производной. Вершины графика \(f'\) — это экстремумы производной, к функции они отношения не имеют.

На ЕГЭ. Типовые вопросы задания 9 по графику производной: «Найдите количество точек максимума функции на отрезке», «Найдите точку, в которой функция принимает наименьшее значение», «Найдите длину наибольшего промежутка возрастания».

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward