По графику функции — о производной

11 заданий

Обратная задача: дан график функции, спрашивают о производной. Производная положительна на участках роста, отрицательна на участках убывания, равна нулю в вершинах и впадинах — там касательная горизонтальна. Количество и расположение таких точек читают прямо с рисунка.

Словарь перевода. \(f\) возрастает \(\Rightarrow\) \(f' \gt 0\). \(f\) убывает \(\Rightarrow\) \(f' \lt 0\). Вершина или впадина (гладкая) \(\Rightarrow\) \(f' = 0\), касательная параллельна оси абсцисс. Касательная параллельна прямой \(y = kx + b\) \(\Rightarrow\) \(f' = k\). Чем круче график, тем больше \(|f'|\). Точки, в которых \(f'\) отрицательна, — целые \(x\) на участках убывания.

Как это работает. График функции на отрезке \([-7; 5]\) возрастает на \([-7; -3]\), убывает на \([-3; 1]\), возрастает на \([1; 5]\). Найдём количество целых точек, в которых производная отрицательна, и точки, где касательная горизонтальна.

Производная отрицательна на участке убывания \((-3; 1)\). Целые точки внутри: \(-2, -1, 0\) — три точки (в концах \(-3\) и 1 производная равна нулю).
Касательная горизонтальна в точках экстремума: \(-3\) и 1.
Ответ: 3 целые точки; \(x = -3\) и \(x = 1\).

Ещё пример. На графике функции отмечены точки \(-4, -2, 1, 3, 6\). В точках \(-4\) и 3 касательная горизонтальна, в точках \(-2\) и 1 функция убывает, в точке 6 возрастает. В скольких отмеченных точках производная положительна?
Решение. Положительна только там, где функция возрастает: точка 6. Ответ: 1.

Лайфхак. Если спрашивают, в скольких из отмеченных точек производная положительна, мысленно проведите касательную в каждой: «вверх» — плюс, «вниз» — минус, «горизонтально» — нуль. Не считайте, где сама функция положительна.

Типичная ошибка. Включают точки экстремума в число точек с отрицательной производной. В точке экстремума производная равна нулю — ни положительна, ни отрицательна.

На ЕГЭ. Задание 9: «На рисунке изображён график функции; найдите количество точек, в которых производная равна нулю» — считают вершины и впадины на отрезке. «В скольких из отмеченных точек производная отрицательна» — точки на участках убывания.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward