Алгебраическая дробь и допустимые значения

Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены: \(\dfrac{x + 1}{x - 3}\), \(\dfrac{2}{x^2 - 4}\). Дробь имеет смысл, только когда знаменатель не равен нулю; такие значения переменной называют допустимыми (ОДЗ — область допустимых значений).

Сокращение. Числитель и знаменатель раскладывают на множители и делят на общий множитель: \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3\) при \(x \ne -3\). Сокращать можно только множители, но не слагаемые: в дроби \(\dfrac{x + 3}{3}\) тройки не сокращаются.

Пример. Сократите дробь \(\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}\).
Решение. \(\dfrac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x}{x + 2}\) при \(x \ne 2\) (и \(x \ne -2\)).

Сокращение дроби. Сокращать можно только общие множители, поэтому числитель и знаменатель сначала раскладывают на множители. Пример. \(\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \dfrac{x - 3}{x}\) при \(x \ne 0\), \(x \ne -3\).