Действия с алгебраическими дробями

10 заданий

Правила те же, что для обыкновенных дробей: сложение и вычитание — через общий знаменатель, умножение — числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, деление — умножение на обратную дробь. Общий знаменатель — «НОК» знаменателей: произведение всех множителей в наибольших степенях.

Действие	Пример
Сложение	\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{x + 2 + x}{x(x + 2)} = \dfrac{2x + 2}{x(x + 2)}\)
Вычитание	\(\dfrac{x}{x - 1} - 1 = \dfrac{x - (x - 1)}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}\)
Умножение	\(\dfrac{x}{x - 1}\cdot\dfrac{x^2 - 1}{x} = \dfrac{x(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)x} = x + 1\)
Деление	\(\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}\)

Пример. Решите уравнение \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} = 4\).
Решение. Умножим обе части на 6: \(2x + x = 24\), \(x = 8\). Умножение на общий знаменатель — главный приём для уравнений с дробями.

Лайфхак. В уравнении с дробями не складывайте дроби — умножьте обе части на общий знаменатель, и дроби исчезнут. Но не забудьте, что умножать можно только на выражение, не равное нулю: значения, обращающие знаменатель в нуль, из ответа исключаются.

Сокращение дробей со степенями (задание 20). Пример. Сократите дробь \(\dfrac{21^{n}}{3^{n-1}\cdot 7^{n+1}}\).
Решение. \(21^{n} = 3^{n}\cdot 7^{n}\), тогда \(\dfrac{3^{n}\cdot 7^{n}}{3^{n-1}\cdot 7^{n+1}} = 3^{n-(n-1)}\cdot 7^{n-(n+1)} = 3^{1}\cdot 7^{-1} = \dfrac{3}{7}\).

Лайфхак. Составное основание раскладывайте на простые множители: \(6^n = 2^n\cdot 3^n\), \(10^n = 2^n\cdot 5^n\), \(21^n = 3^n\cdot 7^n\). После этого буква \(n\) обычно исчезает.

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward