Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(d\) — разности прогрессии: \(a_{n + 1} = a_n + d\). При \(d \gt 0\) прогрессия возрастает, при \(d \lt 0\) — убывает.
| Что нужно | Формула | Пример (\(a_1 = -4\), \(d = 3\)) |
|---|---|---|
| \(n\)-й член | \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) | \(a_{12} = -4 + 11\cdot 3 = 29\) |
| Разность | \(d = a_{n + 1} - a_n = \dfrac{a_k - a_m}{k - m}\) | \(a_6 = 13\), \(a_4 = 7\): \(d = \dfrac{13 - 7}{2} = 3\) |
| Сумма первых \(n\) членов | \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2}\cdot n\) | \(S_8 = \dfrac{-8 + 7\cdot 3}{2}\cdot 8 = 52\) |
| Средний член | \(a_n = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}\) | между 7 и 13 стоит 10 |
Пример. Выписаны первые члены арифметической прогрессии: \(-4;\ -1;\ 2;\ \ldots\) Найдите \(a_{12}\).
Решение. \(d = -1 - (-4) = 3\); \(a_{12} = -4 + 11\cdot 3 = 29\). Ответ: 29.
Ловушка ОГЭ. В формуле \(n\)-го члена стоит \((n - 1)\), а не \(n\): для двенадцатого члена разность прибавляется одиннадцать раз. Проверьте на \(n = 1\): \(a_1 = a_1 + 0\cdot d\) — верно.
Из истории. Формулу суммы связывают с именем Карла Гаусса: по легенде, девятилетний Гаусс мгновенно сложил числа от 1 до 100, заметив, что \(1 + 100 = 2 + 99 = \ldots = 101\), а таких пар пятьдесят: \(50\cdot 101 = 5050\). Это и есть \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward