Числовые последовательности
Числовая последовательность — это числа, выписанные в определённом порядке: первый член \(a_1\), второй \(a_2\), …, \(n\)-й член \(a_n\). Номер члена всегда натуральное число. Последовательность можно задать тремя способами.
| Способ | Как записывают | Пример |
|---|---|---|
| Перечислением | выписывают несколько первых членов | \(2;\ 4;\ 8;\ 16;\ \ldots\) |
| Формулой \(n\)-го члена | \(a_n\) выражен через номер \(n\) | \(a_n = 2n + 1\): \(3;\ 5;\ 7;\ \ldots\) |
| Рекуррентно | каждый член выражен через предыдущие, задан первый | \(a_1 = 5\), \(a_{n + 1} = a_n - 3\): \(5;\ 2;\ -1;\ \ldots\) |
Пример. Последовательность задана формулой \(a_n = n^2 - 3n\). Найдите \(a_5\).
Решение. Подставляем \(n = 5\): \(a_5 = 25 - 15 = 10\). Ответ: 10.
Пример. Последовательность задана формулой \(a_n = (-1)^n\cdot 4n\). Найдите \(a_3\) и \(a_4\).
Решение. \(a_3 = (-1)^3\cdot 12 = -12\), \(a_4 = (-1)^4\cdot 16 = 16\): множитель \((-1)^n\) чередует знаки — минус при нечётных номерах, плюс при чётных.
Пример. \(a_1 = 4\), \(a_{n + 1} = a_n - 3\). Найдите \(a_4\).
Решение. \(a_2 = 1\), \(a_3 = -2\), \(a_4 = -5\). Ответ: −5.
Рекуррентная формула задаёт член через предыдущие. Пример. \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = 2a_n - 1\). Тогда \(a_2 = 5\), \(a_3 = 9\), \(a_4 = 17\). Чтобы найти десятый член, придётся последовательно вычислить все предыдущие — или заметить формулу \(a_n = 2^n + 1\) и проверить её на первых членах.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward