Линейные уравнения

Уравнение — равенство с переменной; корень уравнения — значение переменной, при котором равенство верно; решить уравнение — найти все его корни или показать, что их нет. Линейное уравнение сводится к виду \(ax + b = 0\); при \(a \ne 0\) у него единственный корень \(x = -\dfrac{b}{a}\).

Уравнение преобразуют, не меняя его корней: слагаемые переносят из одной части в другую с противоположным знаком, обе части умножают или делят на одно и то же число, не равное нулю, раскрывают скобки и приводят подобные.

Пример. Решите уравнение \(3(x - 8) - 2(x + 8) = 8\).
Решение. Раскрываем скобки: \(3x - 24 - 2x - 16 = 8\); приводим подобные: \(x - 40 = 8\); переносим: \(x = 48\). Ответ: 48.

Пример. Решите уравнение \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} = 4\).
Решение. Умножим обе части на 6: \(2x + x = 24\), \(3x = 24\), \(x = 8\). Ответ: 8.

Особые случаи: если после преобразований получилось \(0\cdot x = 5\), корней нет; если \(0\cdot x = 0\), корень — любое число.