Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), \(a \ne 0\). Число \(D = b^2 - 4ac\) называется дискриминантом: при \(D \gt 0\) два корня \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), при \(D = 0\) один корень \(x = -\dfrac{b}{2a}\), при \(D \lt 0\) корней нет.
| Вид | Как решать | Пример |
|---|---|---|
| \(x^2 = k\), \(k \gt 0\) | два корня \(\pm\sqrt{k}\) | \(x^2 = 49\): \(x = \pm 7\) |
| \(x^2 + bx = 0\) | вынести \(x\): \(x(x + b) = 0\) | \(x^2 - 5x = 0\): \(x = 0\), \(x = 5\) |
| \((x - a)(x + b) = 0\) | каждый множитель равен нулю | \((x - 1)(x + 7) = 0\): \(x = 1\), \(x = -7\) |
| \(x^2 + px + q = 0\) | теорема Виета: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1x_2 = q\) | \(x^2 - 5x + 6 = 0\): \(x = 2\), \(x = 3\) |
| \(ax^2 + bx + c = 0\) | дискриминант | \(2x^2 - 3x - 2 = 0\): \(D = 25\), \(x = \dfrac{3 \pm 5}{4}\): \(2\) и \(-0{,}5\) |
| полный квадрат | \((x - a)^2 = 0\) | \(x^2 + 10x + 25 = 0\): \(x = -5\) |
Пример. Решите уравнение \(x^2 + 3x - 10 = 0\). Если корней несколько, укажите меньший.
Решение. По теореме Виета ищем два числа с суммой \(-3\) и произведением \(-10\): это \(2\) и \(-5\). Меньший корень \(-5\). Ответ: −5.
Лайфхак. Если \(a + b + c = 0\), то один корень равен 1, а второй \(\dfrac{c}{a}\); если \(a - b + c = 0\), то один корень \(-1\), второй \(-\dfrac{c}{a}\). Для \(x^2 - 7x + 6 = 0\): \(1 - 7 + 6 = 0\), корни \(1\) и \(6\).
Ловушка ОГЭ. «Укажите меньший корень» — при отрицательных корнях меньший тот, что дальше от нуля: из \(-7\) и \(-1\) меньший \(-7\). Прочитайте, какой корень просят, прежде чем писать ответ.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward