Дробно-рациональные уравнения

Если переменная стоит в знаменателе, сначала выпишите ОДЗ: знаменатели не равны нулю. Затем избавьтесь от дробей — умножьте обе части на общий знаменатель или используйте свойство пропорции \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\). В конце проверьте, что найденные корни входят в ОДЗ.

Пример. Решите уравнение \(\dfrac{x + 1}{4} = \dfrac{x - 2}{3}\).
Решение. Знаменатели числовые, ОДЗ — любое число. По свойству пропорции \(3(x + 1) = 4(x - 2)\), \(3x + 3 = 4x - 8\), \(x = 11\). Ответ: 11.

Пример. Решите уравнение \(\dfrac{6}{x} = \dfrac{3}{4}\).
Решение. ОДЗ: \(x \ne 0\). \(3x = 24\), \(x = 8\) — входит в ОДЗ. Ответ: 8.

Пример. Решите уравнение \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = 2\).
Решение. ОДЗ: \(x \ne -3\). Сокращаем: \(\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3\), значит \(x - 3 = 2\), \(x = 5\). Ответ: 5.