Системы двух уравнений

Решение системы — пара чисел \((x;\ y)\), удовлетворяющая обоим уравнениям. Два основных способа: подстановка (выразить одну переменную из одного уравнения и подставить в другое) и сложение (сложить уравнения так, чтобы одна переменная исчезла).

Пример. \(\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1. \end{cases}\) Сложим уравнения: \(2x = 8\), \(x = 4\); тогда \(y = 3\). Ответ: \((4;\ 3)\).

Пример. \(\begin{cases} y = x^2 - 3, \\ y = 2x. \end{cases}\) Приравняем правые части: \(x^2 - 3 = 2x\), \(x^2 - 2x - 3 = 0\), корни \(x = 3\) и \(x = -1\). Соответственно \(y = 6\) и \(y = -2\). Ответ: \((3;\ 6)\), \((-1;\ -2)\).

Геометрически решения системы — точки пересечения графиков уравнений: в последнем примере прямая \(y = 2x\) пересекает параболу \(y = x^2 - 3\) в двух точках.

Способ сложения для системы. Пример. \(\begin{cases} 3x + 2y = 7, \\ 5x - 2y = 1. \end{cases}\) Сложим уравнения: \(8x = 8\), \(x = 1\); из первого \(2y = 4\), \(y = 2\). Если коэффициенты при \(y\) не противоположны, уравнения сначала умножают на подходящие числа.