Окружность: хорды, диаметр, касательная

10 заданий

Окружность — множество точек плоскости, удалённых от центра на одно и то же расстояние — радиус \(r\). Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; наибольшая хорда — диаметр \(d = 2r\). Круг — часть плоскости внутри окружности вместе с ней.

Центральный угол \(AOB\) и вписанный \(ACB\); касательная в точке \(B\) перпендикулярна радиусу; окружность, вписанная в треугольник

Факт	Как используется
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания	появляется прямоугольный треугольник: \(OA^2 = OB^2 + AB^2\)
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны	описанный четырёхугольник, окружность в треугольнике
Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам	радиус, половина хорды и расстояние до центра — прямоугольный треугольник
Равные хорды стягивают равные дуги	сравнение дуг и хорд
Отрезки пересекающихся хорд: \(AE\cdot EB = CE\cdot ED\)	задание 23

Пример. Хорда окружности равна 24, расстояние от центра до хорды 5. Найдите радиус.
Решение. Половина хорды 12; радиус — гипотенуза: \(\sqrt{144 + 25} = 13\).

Лайфхак. Слово «касательная» в условии почти всегда означает прямой угол между ней и радиусом — сразу ищите теорему Пифагора. Слово «хорда» — опускайте перпендикуляр из центра.

Касательная и секущая. Из точки \(A\) проведены касательная \(AB\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(C\) и \(D\). Треугольники \(ABC\) и \(ADB\) подобны (угол \(A\) общий, угол между касательной и хордой равен вписанному углу), поэтому \(AB^2 = AC\cdot AD\). Пример. \(AB = 6\), \(AC = 4\): \(AD = 36 : 4 = 9\).

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward