Последовательности в задачах: номер, знак, закономерность

В задании 14 часто спрашивают не сам член последовательности, а номер члена с заданным значением или количество членов с нужным свойством. Такие вопросы сводятся к уравнению или неравенству относительно номера \(n\), причём \(n\) — натуральное число.

Пример. Последовательность задана формулой \(a_n = 5n - 3\). Найдите номер члена, равного 67.
Решение. \(5n - 3 = 67\), \(5n = 70\), \(n = 14\). Если бы \(n\) получилось дробным, число 67 не было бы членом последовательности.

Пример. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии \(-37;\ -33;\ -29;\ \ldots\)?
Решение. \(a_1 = -37\), \(d = 4\), \(a_n = -37 + 4(n - 1) \lt 0\), то есть \(n - 1 \lt 9{,}25\), \(n \lt 10{,}25\). Отрицательны члены с номерами от 1 до 10: \(a_{10} = -1\), \(a_{11} = 3\). Ответ: 10.

Чередование знаков. Множитель \((-1)^n\) делает члены с чётными номерами положительными, с нечётными — отрицательными: \(a_n = (-1)^n\cdot 3n\) даёт \(-3;\ 6;\ -9;\ 12;\ \ldots\)