Как это спрашивают на ОГЭ: треугольник

Задание 15 — короткая задача на углы, стороны или площадь треугольника: сумма углов, внешний угол, равнобедренный треугольник, теорема Пифагора, синус и косинус, площадь через высоту или через две стороны и синус угла между ними (\(S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\)).

Разбор. Две стороны треугольника равны 8 и 12, угол между ними \(30^\circ\). Найдите площадь.
\(S = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot\sin 30^\circ = 48\cdot 0{,}5 = 24\).

Задания 23 и 25 — вычисления с обоснованием: высота разбивает треугольник на два прямоугольных (\(AB = 13\), \(BC = 15\), \(BH = 12\) — тогда \(AH = 5\), \(HC = 9\), \(AC = 14\)); биссектриса делит сторону пропорционально; вписанная окружность касается сторон, и отрезки касательных равны.

Задание 24 — доказательство: равенство или подобие треугольников по признакам, равнобедренность через равные углы. Записывайте каждый шаг со ссылкой на признак: «по двум углам», «как накрест лежащие при параллельных прямых».

Перпендикулярные медианы (задание 25). Медианы \(AA_1\) и \(BB_1\) треугольника \(ABC\) перпендикулярны, \(BC = 36\), \(AC = 48\). Пусть \(M\) — точка их пересечения, \(AM = 2x\), \(MA_1 = x\), \(BM = 2y\), \(MB_1 = y\). Из прямоугольных треугольников \(AMB_1\) и \(BMA_1\): \(4x^2 + y^2 = 24^2\), \(x^2 + 4y^2 = 18^2\). Складываем: \(5(x^2 + y^2) = 900\), и \(AB^2 = 4x^2 + 4y^2 = 720\), \(AB = 12\sqrt{5}\).