Как это спрашивают на ОГЭ: задания 11 и 22

Задание 11. Установить соответствие между графиками и формулами. Алгоритм: 1) определите вид каждого графика — прямая, парабола, гипербола, корень; 2) для прямой — знаки \(k\) и \(b\), для параболы — направление ветвей и точка \((0;\ c)\), для гиперболы — четверти; 3) если два графика одного вида, проверьте одну точку с целыми координатами подстановкой в формулу.

Разбор. Графики: А — парабола ветвями вниз через \((0;\ 2)\); Б — прямая вверх через \((0;\ -1)\); В — гипербола в I и III четвертях. Формулы: 1) \(y = \dfrac{1}{x}\); 2) \(y = -x^2 + 2\); 3) \(y = \dfrac{1}{2}x - 1\). Ответ: А — 2, Б — 3, В — 1, то есть 231.

Задание 22. Построить график функции и определить, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с ним заданное число общих точек. Три типичных случая: парабола с выколотой точкой (после сокращения дроби), график с модулем (часть параболы отражена вверх), кусочная функция. Горизонтальная прямая \(y = m\) «сканирует» график снизу вверх — считайте, сколько раз она его пересекает на каждом уровне, и не забывайте про выколотые точки и вершины.

Модуль, умноженный на x (задание 22). Функцию \(y = x|x| - |x| - 3x\) строят по частям. При \(x \ge 0\): \(|x| = x\), \(y = x^2 - 4x\) — парабола ветвями вверх с вершиной \((2;\ -4)\). При \(x \lt 0\): \(|x| = -x\), \(y = -x^2 - 2x\) — парабола ветвями вниз с вершиной \((-1;\ 1)\). Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -4\) и \(m = 1\) (проходит через вершины), три — при \(-4 \lt m \lt 1\).

Прямая \(y = kx\) и парабола с выколотой точкой. \(y = \dfrac{(x^2 + 1)(x - 2)}{2 - x} = -x^2 - 1\) при \(x \ne 2\), выколота точка \((2;\ -5)\). Ровно одна общая точка бывает в двух случаях: прямая касается параболы (уравнение \(x^2 + kx + 1 = 0\) имеет один корень, \(D = k^2 - 4 = 0\), \(k = \pm 2\)) или проходит через выколотую точку (\(k = -\dfrac{5}{2}\)), и тогда остаётся одна точка пересечения. Ответ: \(k = -2;\ k = 2;\ k = -2{,}5\).