Векторы на плоскости

Вектор — направленный отрезок: у него есть длина и направление. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) начинается в точке \(A\) и заканчивается в точке \(B\). Векторы равны, если равны их длины и совпадают направления; равные векторы можно переносить параллельно. Нулевой вектор имеет начало и конец в одной точке.

Координаты вектора — разности координат конца и начала: если \(A(x_1;\ y_1)\), \(B(x_2;\ y_2)\), то \(\overrightarrow{AB}(x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)\). Длина вектора \(\vec{a}(x;\ y)\): \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Пример. \(A(1;\ 1)\), \(B(5;\ 3)\). Найдите координаты и длину вектора \(\overrightarrow{AB}\).
Решение. \(\overrightarrow{AB}(4;\ 2)\), \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

Равные и противоположные векторы. Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину; координаты равных векторов совпадают. Противоположный вектор \(-\vec a\) имеет ту же длину и противоположное направление: для \(\vec a(2;\ -3)\) это \((-2;\ 3)\).