Действия с векторами

10 заданий

Действие	Геометрически	В координатах
Сложение \(\vec{a} + \vec{b}\)	правило треугольника: конец \(\vec{a}\) — начало \(\vec{b}\); правило параллелограмма	\((x_1 + x_2;\ y_1 + y_2)\)
Вычитание \(\vec{a} - \vec{b}\)	от общего начала: вектор из конца \(\vec{b}\) в конец \(\vec{a}\)	\((x_1 - x_2;\ y_1 - y_2)\)
Умножение на число \(k\vec{a}\)	длина умножается на \(\|k\|\), при \(k \lt 0\) направление меняется	\((kx;\ ky)\)
Скалярное произведение	\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\varphi\)	\(x_1x_2 + y_1y_2\)

Векторы коллинеарны (лежат на параллельных прямых), если один получается из другого умножением на число: координаты пропорциональны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Пример. \(\vec{a}(4;\ 2)\), \(\vec{b}(3;\ 0)\). Найдите \(\vec{a} + \vec{b}\), \(2\vec{a}\) и \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).
Решение. \(\vec{a} + \vec{b} = (7;\ 2)\); \(2\vec{a} = (8;\ 4)\); \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 3 + 2\cdot 0 = 12\).

Пример. Перпендикулярны ли векторы \((3;\ -2)\) и \((4;\ 6)\)?
Решение. \(3\cdot 4 + (-2)\cdot 6 = 0\) — да.

Из истории. Векторное исчисление появилось в XIX веке в работах Гамильтона и Грассмана, а слово «вектор» (от латинского «несущий») ввёл Гамильтон. Физика описывает векторами силу, скорость и ускорение — направление здесь так же важно, как величина.

Пример. Даны векторы \(\vec a(3;\ -1)\) и \(\vec b(1;\ 5)\). Найдите длину вектора \(\vec a + \vec b\).
Решение. \(\vec a + \vec b = (4;\ 4)\), длина \(\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\).

Ловушка ОГЭ. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) — это координаты конца минус координаты начала: для \(A(2;\ 5)\), \(B(-1;\ 1)\) получаем \(\overrightarrow{AB}(-3;\ -4)\), а не \((3;\ 4)\). Длина при этом одна и та же: 5.

Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward