Спектры атомов и модель Бора: почему энергия электрона квантована

В феврале 1913 года двадцатисемилетний Нильс Бор, вернувшийся из Манчестера в Копенгаген, уже несколько месяцев пытался понять, как электроны могут устойчиво двигаться вокруг ядра Резерфорда. Его коллега, спектроскопист Ханс Мариус Хансен, спросил, как новая теория объясняет спектральные формулы. Бор признался, что почти ничего о них не знает. Хансен показал ему формулу, которую ещё в 1885 году нашёл базельский школьный учитель Иоганн Бальмер для четырёх линий водорода. Позже Бор вспоминал, что, как только увидел формулу Бальмера, ему всё стало ясно [1]. За несколько недель он написал статью, в которой из массы и заряда электрона и постоянной Планка вычислил длины волн линий водорода, совпавшие с измеренными до долей процента [2].

Без этой истории не понять, что такое энергетический уровень. Атом может иметь не любую энергию, а лишь определённые значения, и, переходя с одного уровня на другой, излучает или поглощает свет строго определённых длин волн. Поэтому раскалённые пары натрия светятся жёлтым, литий окрашивает пламя в красный цвет, неоновые трубки — в оранжево-красный, а по тёмным линиям в спектре Солнца и звёзд узнают, из чего они состоят. Квантование энергии — первое и главное свойство электрона в атоме, и открыли его по спектрам.

• 1. Свет, длина волны и энергия фотона
• 2. Энергия фотона и химическая связь
• 3. Тёмные линии в спектре Солнца
• 4. Кирхгоф и Бунзен: спектральный анализ
• 5. Сплошные и линейчатые спектры
• 6. Почему пламя свечи жёлтое, а газовой горелки — голубое
• 7. Как разлагают свет: призма, решётка, спектроскоп
• 8. Формула Бальмера и формула Ридберга
• 9. Кванты: Планк и Эйнштейн
• 10. Модель Бора
• 11. Откуда берутся серии линий
• 12. Опыт Франка и Герца: уровни без света
• 13. Водородоподобные ионы и рентгеновские спектры
• 14. Линейчатые спектры вокруг нас
• 15. Вынужденное излучение и лазер
• 16. Модель Бора и периодическая система
• 17. Линии в магнитном поле
• 18. Чего модель Бора не смогла
• 19. Спектры сегодня: часы, звёзды и проверка законов природы
• 20. Из чего сделаны звёзды
• 21. История изучения
• 22. Частые ошибки
• 23. Интересные факты
• 24. Частые вопросы
• 25. Что пока не решено
• 26. ЕГЭ
• 27. Для олимпиад
• 28. Задания с разбором
• Литература

1. Свет, длина волны и энергия фотона

В 1666 году Исаак Ньютон пропустил солнечный луч через стеклянную призму и получил на стене радужную полосу — спектр. Он показал, что белый свет — смесь лучей разных цветов, которые призма преломляет по-разному, а вторая призма уже не разлагает одноцветный луч дальше [3]. Слово «спектр» (от латинского «видение») ввёл сам Ньютон. В XIX веке выяснилось, что свет — электромагнитная волна, и каждому цвету соответствует своя длина волны λ: красному около 700 нм, жёлтому около 580 нм, зелёному около 530 нм, синему около 470 нм, фиолетовому около 400 нм (1 нм = 10⁻⁹ м). Частота ν связана с длиной волны через скорость света: c = λν, c = 3,00·10⁸ м/с.

Видимый свет — узкий участок электромагнитного излучения от 380 до 780 нм. За фиолетовым краем лежит ультрафиолет, за ним рентгеновские и гамма-лучи; за красным — инфракрасное излучение и радиоволны. С начала XX века известно, что свет испускается и поглощается порциями — фотонами — с энергией $E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }$, где h = 6,626·10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка [4]. Для фотона красного света с λ = 656 нм энергия $E=\frac{6,626\cdot 10^{-34}\cdot 3,00\cdot 10^8}{6,56\cdot 10^{-7}}\approx 3,03\cdot 10^{-19}$ Дж = 1,89 эВ. Удобная формула для расчётов: E(эВ) ≈ $\frac{1240}{\lambda }$(нм).

Энергии фотонов видимого света — 1,6–3,3 эВ — того же порядка, что энергии внешних электронов в атомах и энергии химических связей. Поэтому видимый и ультрафиолетовый свет может возбуждать атомы и молекулы, вызывать фотохимические реакции, выцветание красителей и загар, а инфракрасное излучение только раскачивает колебания молекул и нагревает вещество. Рентгеновские фотоны с энергиями в тысячи электронвольт выбивают электроны из внутренних слоёв атомов, гамма-кванты связаны уже с ядерными переходами.

2. Энергия фотона и химическая связь

Энергии спектров удобно сравнивать с энергиями химических связей. Энергию связи обычно приводят в килоджоулях на моль, а энергию фотона — в электронвольтах на частицу; 1 эВ на частицу соответствует 96,49 кДж/моль. Связь H–H в молекуле водорода прочна: 436 кДж/моль, или 4,52 эВ на молекулу. Чтобы разорвать её одним фотоном, нужна длина волны не больше $\frac{1240}{4,52}\approx 274$ нм — это ультрафиолет. Связь Cl–Cl слабее: 243 кДж/моль, или 2,52 эВ, а пороговая длина волны 492 нм попадает в сине-зелёную часть видимого света.

Отсюда понятна знакомая из органической химии реакция: хлорирование метана идёт на свету. Фотон видимого или ближнего ультрафиолетового света разрывает молекулу хлора на два атома, атом хлора отрывает атом водорода от метана, и начинается цепная реакция. Бром со связью 193 кДж/моль расщепляется даже красным светом с длиной волны до 620 нм. Молекулу кислорода (498 кДж/моль) разрывает лишь жёсткий ультрафиолет короче 240 нм. В стратосфере это и происходит: атомы кислорода соединяются с молекулами O₂ в озон, а озон поглощает ультрафиолет с длинами волн 200–310 нм и защищает живое на поверхности Земли.

Фотохимия окружает нас повсюду. Фотон с длиной волны 680 нм, поглощённый хлорофиллом, несёт 1,82 эВ — с этого начинается фотосинтез. Фотон с длиной волны около 500 нм, поглощённый родопсином в сетчатке, переводит молекулу ретиналя из одной изомерной формы в другую — с этого начинается зрение. В фотографии на плёнке фотон выбивал электрон из бромид-иона в кристалле AgBr, и образовавшиеся атомы серебра служили зародышами будущего изображения. Во всех этих случаях действует правило, установленное ещё в начале XX века: одна поглощённая частица света вызывает превращение одной молекулы, если энергии фотона для этого хватает.

3. Тёмные линии в спектре Солнца

В 1802 году английский химик Уильям Волластон заметил в солнечном спектре несколько тёмных полос и решил, что это просто границы между цветами. Через двенадцать лет мюнхенский оптик Йозеф Фраунгофер, изготавливавший лучшие в мире линзы и призмы, рассмотрел солнечный спектр в зрительную трубу и насчитал около 570 тёмных линий. Самые заметные он обозначил буквами: A и B в красной части, D в жёлтой, F в голубой, H и K в фиолетовой. Фраунгофер искал их, чтобы точно измерять преломление стекла, а не чтобы понять природу Солнца [5]; он же построил первую дифракционную решётку и измерил длины волн линий.

Двойная тёмная линия D совпадала по положению с ярким жёлтым светом, который давали пламя свечи, спиртовка и любой огонь, куда попадала поваренная соль. Это совпадение заметили многие, но объяснить его не могли сорок лет. Даже в 1835 году французский философ Огюст Конт приводил химический состав звёзд как пример знания, навсегда недоступного человеку.

4. Кирхгоф и Бунзен: спектральный анализ

Объяснение дали в 1859–1860 годах профессора Гейдельбергского университета физик Густав Кирхгоф и химик Роберт Бунзен. Бунзен незадолго до этого усовершенствовал газовую горелку, пламя которой почти не светится и не имеет собственных линий. Внося в него соли разных металлов и рассматривая свет через призму спектроскопа, они увидели, что каждый элемент даёт свой набор ярких линий, и этот набор не зависит от того, в какое соединение входит элемент и какова температура пламени [6]. Натрий всегда давал двойную жёлтую линию, литий — яркую красную, калий — красную и фиолетовую.

Затем Кирхгоф пропустил через пламя с натрием солнечный свет и увидел, что тёмная линия D стала ещё темнее. Пламя поглощало именно тот свет, который само испускало. Кирхгоф сформулировал закон: вещество поглощает излучение тех же длин волн, которые испускает в нагретом состоянии. Тёмные линии Фраунгофера означают, что свет раскалённой поверхности Солнца проходит через более холодную атмосферу, а атомы натрия, железа, кальция, водорода в ней поглощают «свои» линии. Кирхгоф отождествил в спектре Солнца линии десятков элементов. Химический состав звёзд, который Конт считал непознаваемым, стал предметом измерений.

Спектральный анализ сразу привёл к открытиям. В 1860 году Бунзен и Кирхгоф нашли в минеральной воде из Дюркгейма две неизвестные голубые линии и назвали новый элемент цезием, от латинского «небесно-голубой». Чтобы выделить несколько граммов его соли, пришлось выпарить около 40 тонн воды. В 1861 году в минерале лепидолите они открыли рубидий, по тёмно-красным линиям (латинское «тёмно-красный») [7]. В том же году Уильям Крукс открыл таллий по ярко-зелёной линии («таллос» — зелёная ветвь), в 1863 году Фердинанд Райх и Теодор Рихтер — индий по линии цвета индиго, в 1875 году Поль Эмиль Лекок де Буабодран — галлий, предсказанный Менделеевым.

5. Сплошные и линейчатые спектры

Раскалённые твёрдые тела и жидкости — нить лампы накаливания, расплавленный металл, Солнце в целом — дают сплошной спектр, в котором есть все длины волн, а распределение яркости зависит только от температуры. Чем горячее тело, тем короче волна, на которую приходится максимум излучения: у нити лампы накаливания (около 2500 °C) он в инфракрасной области, у поверхности Солнца (около 5500 °C) — в зелёной части видимого света. Сплошной спектр не несёт сведений о том, из каких элементов состоит тело.

Определение. Линейчатый спектр испускания — спектр излучения разреженного газа из атомов, состоящий из отдельных узких линий. Его дают атомы в пламени, в электрической дуге и искре, в газоразрядных трубках. Линейчатый спектр поглощения — тёмные линии на фоне сплошного спектра, возникающие, когда свет проходит через газ из атомов. Положение линий в спектре испускания и спектре поглощения одного элемента совпадает, и набор этих линий индивидуален для каждого элемента, как отпечаток пальца. Молекулы дают полосатые спектры — группы близко расположенных линий, связанные с колебаниями и вращением молекул.

Окраска пламени — самое простое проявление линейчатых спектров. Соли щелочных и щелочноземельных металлов окрашивают пламя горелки, потому что в пламени образуются свободные атомы металла, возбуждаются при столкновениях с горячими частицами газа и испускают свет своих самых ярких линий. Этим пользуются в аналитической химии для обнаружения элементов и в пиротехнике: красные огни фейерверков дают соли стронция, зелёные — бария, жёлтые — натрия, синие — меди.

6. Почему пламя свечи жёлтое, а газовой горелки — голубое

Пламя свечи светится жёлтым не из-за линий какого-то элемента. При горении парафина в пламени образуются мельчайшие частицы углерода — сажи, — раскалённые до 1000–1400 °C. Как любое нагретое твёрдое тело, они дают сплошной спектр, максимум которого при такой температуре лежит в инфракрасной области, а в видимой части спектра преобладают жёлто-оранжевые лучи. Если подержать над пламенем холодную фарфоровую чашку, на ней осядет эта сажа. Ещё Майкл Фарадей посвятил пламени свечи цикл из шести рождественских лекций для детей в Королевском институте (1848), ставший одной из самых известных научно-популярных книг.

У основания пламени свечи и в пламени газовой горелки с хорошим притоком воздуха сажи нет, и свет даёт уже не сплошной, а полосатый спектр. Голубой и синий цвет создают возбуждённые двухатомные частицы, образующиеся при горении, — радикалы CH (полоса около 431 нм) и молекулы C₂ (сине-зелёные полосы около 470 и 516 нм, названные полосами Свана по имени шотландского физика, описавшего их в 1856 году). Их возбуждает энергия самих реакций горения: часть энергии реакции переходит не в тепло, а в возбуждение электронов продуктов. Поэтому цвет пламени горелки служит простым индикатором полноты сгорания: жёлтые языки означают нехватку воздуха и образование сажи.

7. Как разлагают свет: призма, решётка, спектроскоп

Призма разлагает свет потому, что показатель преломления стекла зависит от длины волны: фиолетовые лучи преломляются сильнее красных. Но эта зависимость нелинейна и у каждого стекла своя, поэтому по призменному спектру трудно точно измерять длины волн. Фраунгофер в 1821 году предложил другой прибор — дифракционную решётку: тысячи параллельных штрихов на стекле на равных расстояниях d. Свет, прошедший через соседние штрихи, усиливается в направлениях, где разность хода равна целому числу длин волн: d sin θ = mλ. Измерив угол θ и зная шаг решётки, получают длину волны.

Чем больше штрихов, тем тоньше линии и тем ближе друг к другу могут быть линии, которые прибор ещё различает. Чтобы разделить две жёлтые линии натрия (589,0 и 589,6 нм), нужна разрешающая способность λ/Δλ около тысячи — в первом порядке решётка должна иметь не меньше тысячи освещённых штрихов. Американский физик Генри Роуланд в 1880-х годах построил делительную машину, наносившую на металлическое зеркало до 800 штрихов на миллиметр, и его вогнутые решётки на десятилетия стали главным инструментом спектроскопии. Сейчас в спектрометрах используют голографические решётки и матрицы фотоприёмников, а в лаборатории химика спектр раствора записывается за секунды.

8. Формула Бальмера и формула Ридберга

Самый простой спектр у водорода. В видимой области он содержит четыре яркие линии: красную (656 нм), голубую (486 нм), синюю (434 нм) и фиолетовую (410 нм); в ультрафиолете за ними следуют всё более тесные линии. Их длины волн с большой точностью измерил шведский физик Андерс Ангстрем. Иоганн Якоб Бальмер, шестидесятилетний учитель математики в женской школе Базеля, увлекался числовыми закономерностями и в 1885 году подобрал формулу, описывающую все четыре линии [8]:

При n = 3 формула даёт $364,56\cdot \frac{9}{5}=656,2$ нм — красная линия; при n = 4 — 486,1 нм, при n = 5 — 434,0 нм, при n = 6 — 410,1 нм. Бальмер предсказал, что при n = 7 должна быть линия 397,0 нм, — и оказалось, что такую линию уже наблюдали в спектрах звёзд. С ростом n линии сгущаются и сходятся к пределу λ = B = 364,6 нм. Откуда берутся квадраты целых чисел, Бальмер не знал.

Шведский физик Юханнес Ридберг в 1888–1890 годах записал формулу через волновое число — величину, обратную длине волны, — и обобщил её на другие элементы [9]. Для водорода формула Ридберга имеет вид:

Серия Бальмера получается при n₁ = 2. Формула предсказывала и другие серии: при n₁ = 1 — в ультрафиолете, при n₁ = 3, 4, 5 — в инфракрасной области. Их нашли позже: Теодор Лайман в 1906–1914 годах (ультрафиолетовая серия, первая линия 121,6 нм), Фридрих Пашен в 1908 году (инфракрасная, первая линия 1875 нм), Фредерик Брэкет в 1922 году и Август Пфунд в 1924 году. В 1908 году Вальтер Ритц сформулировал комбинационный принцип: волновое число любой линии атома равно разности двух «термов», то есть двух чисел из определённого для этого атома набора. Принцип выполнялся для всех элементов, но объяснения ему не было.

Важно. Комбинационный принцип и формула Ридберга — главная подсказка природы. Если частота линии равна разности двух чисел, значит, каждая линия связана с двумя состояниями атома, и атом при излучении переходит из одного в другое. Числа $\frac{R}{n^2}$, из разностей которых складываются линии водорода, и есть его энергетические уровни, выраженные в волновых числах. Оставалось понять, почему энергии уровней обратно пропорциональны квадратам целых чисел.

9. Кванты: Планк и Эйнштейн

Первый шаг к ответу был сделан в другой области — при изучении излучения нагретых тел. Классическая физика давала для распределения энергии в спектре «абсолютно чёрного тела» формулу, которая для коротких волн предсказывала бесконечную энергию. 14 декабря 1900 года Макс Планк доложил Немецкому физическому обществу формулу, точно описывающую опыт [10]. Чтобы её вывести, ему пришлось предположить, что излучение с частотой ν испускается и поглощается не непрерывно, а порциями — квантами — с энергией E = hν. Сам Планк считал это математическим приёмом и много лет надеялся избавиться от него.

Альберт Эйнштейн в 1905 году сделал следующий шаг: квантами является сам свет [11]. Так объяснился фотоэффект — выбивание электронов светом с поверхности металла. Энергия вылетающих электронов не зависела от яркости света, а зависела только от его частоты; ниже определённой частоты электроны не вылетали вовсе, как бы ярко ни светила лампа. По Эйнштейну, фотон отдаёт электрону всю свою энергию hν, часть которой уходит на работу выхода A из металла: E_кин = hν − A. Роберт Милликен, не веривший в кванты света, десять лет проверял это уравнение и в 1916 году подтвердил его, получив из опыта значение постоянной Планка [12]. В 1921 году Эйнштейн получил Нобелевскую премию — именно за объяснение фотоэффекта, а не за теорию относительности.

10. Модель Бора

Бор соединил ядерную модель Резерфорда с идеей квантов. Он принял два постулата, противоречивших классической физике. Первый: электрон в атоме может двигаться только по определённым стационарным орбитам и, находясь на них, не излучает, несмотря на ускоренное движение. Второй: излучение испускается или поглощается при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую, а частота фотона определяется разностью энергий: hν = E₂ − E₁. Чтобы выбрать разрешённые орбиты, Бор потребовал, чтобы момент импульса электрона был кратен постоянной Планка, делённой на 2π: mvr = nħ, n = 1, 2, 3, …

Дальше всё следует из школьной механики. Для круговой орбиты кулоновское притяжение к ядру сообщает электрону центростремительное ускорение: $\frac{m{v}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$. Подставив $v=\frac{n\hslash }{mr}$, получаем радиусы разрешённых орбит:

Энергия электрона складывается из кинетической энергии $\frac{m{v}^2}{2}$ и потенциальной энергии притяжения $-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$. Из условия равновесия кинетическая энергия равна половине модуля потенциальной, поэтому полная энергия $E=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}$. Подставив радиусы, получаем энергии уровней:

Знак минус означает, что электрон связан: чтобы удалить его на бесконечность, где энергия равна нулю, надо затратить работу. Для основного состояния (n = 1) это 13,6 эВ — энергия ионизации атома водорода, или 1312 кДж/моль. При переходе с уровня n₂ на уровень n₁ испускается фотон с энергией $13,6\cdot \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$ эВ — это и есть формула Ридберга. Главное: постоянная Ридберга, которую спектроскописты подбирали по измерениям, вычислялась из массы и заряда электрона и постоянной Планка. Бор получил 3,1·10¹⁵ с⁻¹ при измеренном значении 3,29·10¹⁵ с⁻¹: при тогдашней точности констант это было полное совпадение.

Скорость электрона на первой орбите $v_1=\frac{\hslash }{m{a}_0}\approx 2,19\cdot 10^6$ м/с — $\frac{1}{137}$ скорости света. Это число, α = $\frac{1}{137}$, позже назвали постоянной тонкой структуры; оно характеризует силу электромагнитного взаимодействия. За одну секунду электрон на первой орбите облетел бы ядро около 6,6·10¹⁵ раз.

11. Откуда берутся серии линий

Схема уровней атома водорода объясняет все его спектральные серии сразу. Уровни лежат при энергиях −13,6; −3,40; −1,51; −0,85; −0,54 эВ и так далее, сгущаясь к нулю. Переходы на первый уровень со всех более высоких дают серию Лаймана: даже самый «короткий» переход 2 → 1 выделяет 10,2 эВ, это ультрафиолет с длиной волны 121,6 нм. Переходы на второй уровень дают серию Бальмера, энергии фотонов от 1,89 эВ (переход 3 → 2, красная линия 656 нм) до 3,40 эВ (граница серии, 365 нм), — почти точно видимый диапазон. Переходы на третий уровень дают инфракрасную серию Пашена.

Каждая серия обрывается границей: переходу с уровня n = ∞, то есть захвату свободного электрона с нулевой кинетической энергией. За границей серии спектр становится сплошным, потому что свободный электрон может иметь любую кинетическую энергию. В спектре поглощения холодного водорода видна только серия Лаймана: почти все атомы находятся в основном состоянии, и поглощать они могут лишь фотоны, переводящие электрон с первого уровня. Линии Бальмера в поглощении появляются, когда газ нагрет настолько, что заметная доля атомов находится на втором уровне, — например, в атмосферах звёзд с температурой около 10 000 °C, где эти линии особенно сильны.

Определение. Основное состояние атома — состояние с наименьшей возможной энергией; у водорода это n = 1. Возбуждённые состояния — все состояния с большей энергией. Атом переходит в возбуждённое состояние, поглотив фотон подходящей энергии или получив энергию при столкновении, и через доли микросекунды возвращается в основное, испуская один или несколько фотонов. Энергия, необходимая для перевода атома из основного состояния в возбуждённое, называется энергией возбуждения.

12. Опыт Франка и Герца: уровни без света

Спектры показывали квантование косвенно — через свет. Прямое доказательство того, что атом может принимать энергию лишь определёнными порциями, получили в 1914 году в Берлине Джеймс Франк и Густав Герц, племянник Генриха Герца [13]. В стеклянной лампе с парами ртути электроны, вылетавшие с раскалённого катода, разгонялись напряжением между катодом и сеткой, а за сеткой на анод попадали только те из них, у которых оставалось достаточно энергии, чтобы преодолеть небольшое тормозящее напряжение.

При росте ускоряющего напряжения ток сначала рос, а при 4,9 В резко падал. Затем снова рос и падал при 9,8 В, 14,7 В — через каждые 4,9 В. Объяснение: пока энергия электрона меньше 4,9 эВ, его столкновения с атомами ртути упругие — атом слишком тяжёл, чтобы отнять заметную часть энергии. Как только энергия достигает 4,9 эВ, электрон может отдать именно эту порцию атому ртути, переведя его в возбуждённое состояние, и, потеряв энергию, уже не доходит до анода. При 9,8 В электрон успевает возбудить два атома подряд. Одновременно пары ртути начинали светиться ультрафиолетом с длиной волны 253,7 нм, а энергия фотона этой длины волны — $\frac{1240}{253,7}=4,89$ эВ. Порция энергии, которую атом ртути получает при столкновении, и энергия испускаемого им фотона совпали.

Сами Франк и Герц сначала решили, что наблюдают ионизацию ртути, и лишь позднее, после работ Бора, поняли, что 4,9 эВ — энергия возбуждения, а не ионизации (энергия ионизации ртути — 10,4 эВ). В 1925 году они получили Нобелевскую премию по физике. Опыт показал, что дискретные уровни энергии — свойство самого атома, а не особенность испускания света.

13. Водородоподобные ионы и рентгеновские спектры

Формула Бора годится для любой частицы с одним электроном и ядром заряда +Z: ионов He⁺, Li²⁺, Be³⁺. Притяжение к ядру в Z раз сильнее, радиусы орбит в Z раз меньше, а энергии уровней в Z² раз глубже: $E_n=-13,6\cdot \frac{Z^2}{n^2}$ эВ. Энергия, нужная, чтобы оторвать единственный электрон от иона He⁺, равна 13,6 · 4 = 54,4 эВ, от иона Li²⁺ — 13,6 · 9 = 122,4 эВ. Эти числа совпадают с измеренными вторыми и третьими энергиями ионизации гелия и лития с точностью до долей процента.

Та же формула объясняет закон Мозли. Если из атома тяжёлого элемента выбить электрон первого слоя, на его место переходит электрон второго слоя, и испускается рентгеновский фотон линии Kα. Оставшийся в первом слое электрон экранирует ядро примерно на единицу заряда, поэтому эффективный заряд равен Z − 1, и энергия фотона равна $13,6\cdot (Z-1{)}^2\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)$ эВ. Для меди: 13,6 · 28² · 0,75 ≈ 8000 эВ, что отвечает длине волны около 155 пм. Мозли, сопоставив свои результаты с теорией Бора, сделал вывод, что заряд ядра равен номеру элемента.

14. Линейчатые спектры вокруг нас

Модель Бора объясняет многое из того, что видно глазом. Натриевые лампы, освещавшие улицы до появления светодиодов, светят почти чистым жёлтым светом двух линий натрия 589,0 и 589,6 нм: в разряде электроны возбуждают атомы натрия, и те испускают одну и ту же порцию энергии. Неоновая трубка светится оранжево-красным, потому что самые яркие линии неона лежат между 585 и 700 нм; трубки, которые светятся синим или зелёным, наполнены аргоном с парами ртути и покрыты изнутри люминофором. Люминесцентная лампа — ртутная: ультрафиолетовые линии ртути 254 и 185 нм поглощаются люминофором на стенках колбы и переизлучаются видимым светом.

Полярные сияния — тоже линейчатые спектры. Электроны и протоны солнечного ветра, захваченные магнитным полем Земли, на высотах 100–300 км сталкиваются с атомами кислорода и молекулами азота верхней атмосферы. Зелёное свечение даёт линия атомарного кислорода 557,7 нм, красное на больших высотах — линия кислорода 630,0 нм, фиолетово-синие оттенки у нижней кромки — ионы молекулярного азота (427,8 нм). Возбуждённые состояния кислорода, дающие эти линии, живут необычно долго — около секунды и около двух минут; в плотном газе атом теряет такую энергию при столкновениях раньше, чем успеет излучить, поэтому в лаборатории эти линии получить трудно, а в разреженной верхней атмосфере они видны.

На том же принципе работает атомно-абсорбционный анализ, предложенный австралийским физиком Аланом Уолшем в 1955 году [15]. Раствор пробы распыляют в пламя, а через пламя пропускают свет лампы, испускающей линии определяемого элемента. Атомы этого элемента в пламени поглощают «свой» свет, и по ослаблению луча находят их концентрацию — для многих металлов до миллиардных долей. Так определяют свинец в крови, ртуть в рыбе, микроэлементы в почвах.

15. Вынужденное излучение и лазер

В 1917 году Эйнштейн, рассматривая равновесие атомов с излучением, показал, что атом может переходить вниз двумя способами [16]. Кроме самопроизвольного (спонтанного) излучения, когда возбуждённый атом сам испускает фотон в случайном направлении, должно существовать вынужденное излучение: фотон подходящей энергии, пролетая мимо возбуждённого атома, заставляет его испустить второй фотон — той же частоты, того же направления и в той же фазе. Вместо одного фотона получается два одинаковых, из двух — четыре. Обычно это незаметно, потому что атомов в основном состоянии намного больше, чем в возбуждённом, и они поглощают фотоны быстрее, чем возбуждённые атомы их размножают.

Если же создать инверсию заселённостей — сделать возбуждённых атомов больше, чем невозбуждённых, — излучение будет усиливаться лавинообразно. В 1954 году Чарлз Таунс с сотрудниками в Колумбийском университете построил такой усилитель для микроволн на молекулах аммиака — мазер [17]; независимо от них ту же идею разработали в Москве Николай Басов и Александр Прохоров. Все трое получили Нобелевскую премию по физике 1964 года. 16 мая 1960 года Теодор Мейман в лаборатории компании Hughes в Калифорнии получил первый лазер — оптический генератор на кристалле рубина [18]. Рубин — оксид алюминия с примесью ионов Cr³⁺; вспышка лампы переводила ионы хрома в возбуждённое состояние, и кристалл испускал узкий пучок красного света с длиной волны 694,3 нм.

Лазер — прямое практическое следствие квантования энергии в атоме. Длина волны лазера определяется разностью энергий двух уровней активного вещества: 632,8 нм у гелий-неонового лазера, 1064 нм у неодимового, 10,6 мкм у лазера на углекислом газе. Лазеры читают штрих-коды и диски, передают данные по оптоволокну, режут металл, исправляют зрение, а в химии позволяют возбуждать молекулы строго определённой энергией и следить за реакциями с разрешением до фемтосекунд.

16. Модель Бора и периодическая система

В 1921–1922 годах Бор попытался применить свою теорию ко всем элементам. Он представил атом как систему электронных оболочек, которые заполняются по мере роста заряда ядра, — этот принцип по-немецки назвали Aufbauprinzip, «принцип построения». Бор не мог точно рассчитать многоэлектронные атомы, но, опираясь на спектры и химические свойства, сумел объяснить, почему периоды содержат 2, 8, 8, 18, 18 и 32 элемента и почему у редкоземельных элементов, следующих за лантаном, такие похожие свойства: у них заполняется глубокая внутренняя оболочка, а внешние почти не меняются.

Из этой картины следовал проверяемый вывод. Элемент с номером 72, которого тогда не знали, должен закрывать ряд редкоземельных элементов и по свойствам быть похожим не на них, а на цирконий, стоящий над ним в таблице. Французский химик Жорж Юрбен как раз сообщил об открытии элемента 72 среди редкоземельных и назвал его кельтием. В Копенгагене в институте Бора голландец Дирк Костер и венгр Дьёрдь де Хевеши в конце 1922 года исследовали рентгеновские спектры циркониевых минералов и нашли в них линии элемента 72 точно там, где их предсказывал закон Мозли [19]. Бор узнал о результате как раз перед своей нобелевской лекцией 11 декабря 1922 года и успел сообщить о нём в конце лекции. Новый элемент назвали гафнием — от латинского названия Копенгагена. Его содержание в цирконии оказалось заметным, но до тех пор его никто не замечал: химически гафний почти неотличим от циркония.

17. Линии в магнитном поле

В 1896 году голландский физик Питер Зееман поместил пламя с натрием между полюсами сильного электромагнита и увидел, что жёлтые линии натрия расширяются [20]. Его учитель Хендрик Лоренц сразу объяснил это: в атоме колеблются заряженные частицы, и магнитное поле меняет частоту их колебаний. По величине расщепления Лоренц нашёл отношение заряда к массе этих частиц — и получил то же, что Томсон через год для катодных лучей. Так электрон был «увиден» внутри атома ещё до опыта Томсона. Зееман и Лоренц получили Нобелевскую премию по физике 1902 года.

Расщепление линий в магнитном поле — эффект Зеемана — показывает, что уровни энергии атома зависят от того, как ориентирован в пространстве момент импульса электрона. Это ещё одно квантовое свойство, которое в модели Бора было лишь отчасти понято и привело к понятию магнитного квантового числа. В 1908 году американский астроном Джордж Хейл по зеемановскому расщеплению линий в спектре солнечных пятен обнаружил, что в пятнах действуют магнитные поля в тысячи раз сильнее земного [21]. Так спектроскопия впервые измерила магнитное поле за пределами Земли.

18. Чего модель Бора не смогла

Успех модели Бора для водорода был ошеломляющим, но уже к 1920-м годам стали ясны её пределы. Первая трудность — тонкая структура: при большом разрешении многие линии водорода оказались не одиночными, а двойными. Арнольд Зоммерфельд в 1916 году разрешил электрону двигаться по эллиптическим орбитам и учёл теорию относительности [22]. Энергия стала немного зависеть от формы орбиты, и линии расщепились — почти так, как наблюдалось. Для описания эллиптических орбит понадобилось второе квантовое число, впоследствии ставшее орбитальным квантовым числом квантовой механики.

Вторая трудность — атомы с несколькими электронами. Уже для гелия, где вокруг ядра движутся два электрона, расчёты по правилам Бора не давали правильной энергии ионизации. Третья — интенсивности: модель предсказывала, где находятся линии, но не какие из них яркие, а какие слабые. Четвёртая — расщепление линий в магнитном поле (эффект Зеемана, открытый в 1896 году): в «аномальном» случае линии расщеплялись на число компонент, не объяснимое никакими орбитами. Наконец, модель Бора не объясняла химическую связь: ни почему два атома водорода образуют молекулу H₂, ни почему гелий не образует He₂.

Главная же трудность была принципиальной. Постулаты Бора не выводились из более общих законов, а вводились специально, и само понятие траектории электрона, точно известных положения и скорости в каждый момент, оказалось неверным. В 1925–1926 годах Вернер Гейзенберг и Эрвин Шрёдингер построили квантовую механику, в которой энергетические уровни получаются из уравнения движения волны, а у электрона в атоме нет орбиты — есть орбиталь, описывающая вероятность найти его в той или иной точке. Для атома водорода квантовая механика дала те же энергии уровней $-\frac{13,6}{n^2}$ эВ, что и модель Бора, но объяснила и всё остальное.

Важно. Модель Бора неверна в деталях, но верна в главном: энергия электрона в атоме квантована, атом имеет основное и возбуждённые состояния, а линии спектра соответствуют переходам между уровнями. Понятия «энергетический уровень», «основное и возбуждённое состояние», «энергия ионизации» пришли в химию из модели Бора и остались в квантовой механике. Слово «орбита» осталось только в истории; правильно говорить об орбиталях.

19. Спектры сегодня: часы, звёзды и проверка законов природы

Спектральные линии атомов — самые воспроизводимые физические величины. С 1967 года секунда определяется через частоту излучения перехода между двумя подуровнями основного состояния атома цезия-133: ровно 9 192 631 770 колебаний. Лучшие цезиевые часы ошибаются на секунду лишь за сто миллионов лет, а современные оптические часы на ионах алюминия, стронции или иттербии — на секунду за возраст Вселенной; их относительная погрешность — около 10⁻¹⁸ [23]. Такие часы чувствуют замедление времени, предсказанное теорией относительности, при подъёме на несколько сантиметров. Спутниковые системы навигации работают благодаря атомным часам на спутниках.

Частота перехода 1s–2s в атоме водорода измерена с 15 значащими цифрами: 2 466 061 413 187 035 Гц с погрешностью 10 Гц [24]. Сравнение этой частоты с теорией проверяет квантовую электродинамику и позволяет найти постоянную Ридберга и радиус протона. В радиоастрономии важнейшую роль играет линия нейтрального водорода с длиной волны 21 см, возникающая при переворачивании спина электрона относительно спина протона; её предсказал Хендрик ван де Хюлст в 1944 году, а наблюдали в 1951 году Гарольд Юэн и Эдвард Пёрселл [25]. По этой линии построены карты спиральных рукавов нашей Галактики.

Спектры звёзд по-прежнему остаются главным источником знаний об их составе, температуре и движении. Сдвиг линий из-за эффекта Доплера показывает, приближается звезда или удаляется; по периодическим сдвигам линий звезды найдены первые планеты у других звёзд, а по спектрам света, прошедшего через атмосферы этих планет, в них находят водяной пар, углекислый газ и метан. По спектрам далёких квазаров проверяют, не менялись ли за миллиарды лет постоянные природы.

20. Из чего сделаны звёзды

Кирхгоф доказал, что на Солнце есть натрий и железо, и долго считалось, что звёзды по составу похожи на Землю: в их спектрах видны тысячи линий металлов. В 1920 году индийский физик Мегнад Саха вывел уравнение, связывающее долю ионизованных атомов с температурой и давлением газа [26]. Из него следовало, что сила линии в спектре зависит не только от количества элемента, но и от того, в каком состоянии находятся его атомы при данной температуре: линии водорода слабы и в холодных, и в очень горячих звёздах, хотя водорода может быть много.

Молодая англичанка Сесилия Пейн, работавшая в Гарвардской обсерватории, применила уравнение Сахи к спектрам звёзд разных классов и в диссертации 1925 года пришла к поразительному выводу: звёзды почти целиком состоят из водорода и гелия, а металлов в них ничтожно мало [27]. Водорода, по её оценке, было в миллион раз больше, чем других элементов. Этот вывод противоречил общему мнению, и известный астроном Генри Норрис Рассел убедил её написать, что такое обилие водорода почти наверняка нереально. Через четыре года Рассел сам пришёл к тому же выводу другим путём. Астроном Отто Струве позже назвал работу Пейн самой блестящей диссертацией по астрономии.

21. История изучения

Путь от радуги Ньютона до модели Бора занял два с половиной века и разделился на две линии. Экспериментаторы — Фраунгофер, Кирхгоф и Бунзен, Ангстрем, Пашен, Лайман — накапливали длины волн линий и открывали по ним новые элементы. Теоретики — Бальмер, Ридберг, Ритц — искали в этих числах закономерности, не понимая их причины. Причину дала квантовая гипотеза Планка и Эйнштейна, и Бор в 1913 году соединил её с ядерной моделью атома. Опыт Франка и Герца в 1914 году доказал существование уровней независимо от спектров.

Модель Бора развивали ещё двенадцать лет: Зоммерфельд добавил эллиптические орбиты и новые квантовые числа, сам Бор в 1921–1922 годах попытался объяснить по ней периодическую систему. Но многоэлектронные атомы и тонкости спектров ей не поддавались, и в 1925–1926 годах на смену пришла квантовая механика Гейзенберга и Шрёдингера.

22. Частые ошибки

• «Электрон излучает, когда движется по орбите». По модели Бора на стационарной орбите электрон не излучает; фотон испускается только при переходе с более высокого уровня на более низкий.
• «Чем ярче свет, тем больше энергия фотона». Энергия фотона зависит только от частоты (длины волны): E = hν. Яркость определяется числом фотонов.
• «При поглощении света электрон переходит на более низкий уровень». Наоборот: поглощая фотон, атом получает энергию и переходит в возбуждённое состояние, на более высокий уровень. Испуская фотон, он переходит на более низкий.
• «Энергия электрона в атоме положительна и растёт по мере приближения к ядру». Энергия связанного электрона отрицательна (за ноль принят свободный покоящийся электрон) и тем ниже, чем ближе к ядру и чем меньше n.
• «Уровни атома расположены через равные промежутки». Энергии уровней водорода пропорциональны $-\frac{1}{n^2}$: промежутки быстро уменьшаются с ростом n, уровни сгущаются к границе ионизации.
• «Модель Бора — современная модель атома». Модель Бора исторически важна и правильно даёт энергии уровней водорода, но понятие орбиты в ней неверно. Современная модель — квантово-механическая, с орбиталями.
• «Окраску пламени дают ионы металлов». Свет испускают в основном возбуждённые нейтральные атомы (а у щелочноземельных металлов — ещё и молекулы вроде CaOH), образующиеся в пламени из солей.

23. Интересные факты

• Цезий стал первым элементом, открытым спектральным анализом, а гелий — единственным элементом, открытым сначала вне Земли.
• Слово «квант» Планк взял из латыни («сколько»), а слово «фотон» предложил в 1926 году американский химик Гилберт Льюис — тот самый, автор теории электронных пар.
• Нобелевскую премию по физике за 1922 год Бор получил одновременно с Эйнштейном: в ноябре 1922 года Шведская академия наук объявила сразу две премии — отложенную премию Эйнштейна за 1921 год и премию Бора.
• Сын Нильса Бора Оге Бор тоже стал нобелевским лауреатом по физике (1975) — за теорию строения атомных ядер.
• Зелёный цвет полярного сияния дают атомы кислорода, которые в возбуждённом состоянии живут почти секунду — в миллионы раз дольше, чем обычные возбуждённые атомы.
• Длина волны линии натрия 589 нм так удобна, что ею долго пользовались как стандартом: показатели преломления стёкол и жидкостей в справочниках часто приводят именно для линии D натрия.
• По спектру Солнца гелий нашли в 1868 году, а технеций — в 1952 году нашли в спектрах некоторых красных гигантов. Технеций не имеет устойчивых изотопов, и его присутствие в звёздах доказало, что элементы синтезируются в звёздах прямо сейчас.

24. Частые вопросы

Почему спектр атома линейчатый, а не сплошной?

Энергия атома может принимать только определённые значения. При переходе между двумя уровнями испускается фотон с энергией, равной разности энергий уровней, а значит, строго определённой длины волны. Набор возможных разностей конечен для видимого диапазона, отсюда отдельные линии.

Почему у разных элементов разные спектры?

Энергии уровней зависят от заряда ядра и от взаимодействия всех электронов друг с другом, поэтому у каждого элемента свой набор уровней и, следовательно, свой набор линий. Даже у изотопов одного элемента линии чуть сдвинуты из-за разной массы ядра.

Почему электрон не падает на ядро, если по классической физике должен?

Бор просто постулировал, что на стационарных орбитах электрон не излучает. Квантовая механика объяснила это: у электрона в атоме есть состояние с наименьшей энергией, и ниже его опуститься нельзя, — уменьшение размера области, где находится электрон, повышает его кинетическую энергию сильнее, чем понижает потенциальную.

Что значит «энергия ионизации водорода 13,6 эВ»?

Чтобы оторвать электрон от атома водорода в основном состоянии и удалить его так, чтобы он больше не взаимодействовал с протоном, нужно сообщить атому 13,6 эВ. Для моля атомов это 1312 кДж — больше, чем выделяется при сгорании моля метана (890 кДж).

Можно ли по цвету пламени точно определить элемент?

Глазом — только приблизительно: красное пламя дают и литий, и стронций, а следы натрия заглушают почти любой другой цвет. Спектроскоп раскладывает свет на линии и позволяет определить элемент однозначно, а приборы атомно-эмиссионного анализа определяют одновременно десятки элементов в одной пробе.

25. Что пока не решено

Проблема лития

Теория синтеза элементов в первые минуты после Большого взрыва очень точно предсказывает содержание дейтерия и гелия, найденное по спектрам. Но лития-7 в атмосферах самых старых звёзд нашей Галактики, по спектральной линии 670,8 нм, примерно в три раза меньше, чем предсказывает теория [28], [29]. Возможно, литий разрушается в недрах звёзд, возможно, ошибочны скорости ядерных реакций, а возможно, проявляется неизвестная физика. Окончательного ответа нет.

Постоянны ли постоянные

Положение линий в спектрах далёких квазаров зависит от постоянной тонкой структуры α ≈ $\frac{1}{137}$ в ту эпоху, когда свет был испущен, миллиарды лет назад. В 2011 году группа Джона Уэбба сообщила о признаках того, что α в разных направлениях на небе немного различается — на миллионные доли [30]. Другие группы этого не подтвердили, а лабораторные сравнения атомных часов показывают, что сейчас α если и меняется, то меньше чем на 10⁻¹⁷ в год. Вопрос остаётся открытым.

Почему α ≈ 1/137

Постоянная тонкой структуры определяет энергии атомных уровней, размеры атомов и силу химических связей. Её измерили с точностью до долей миллиардной, но почему она имеет именно такое значение, никакая теория не объясняет. Ричард Фейнман называл её одной из величайших загадок физики.

26. ЕГЭ

Тема относится к элементу 1.1 кодификатора [31]. Модель Бора и формулы спектров на ЕГЭ по химии не проверяют, но из неё пришли понятия, без которых не решить задание 1: энергетический уровень, основное и возбуждённое состояния атома. Окраска пламени солями металлов используется в заданиях на качественные реакции и распознавание веществ.

Что обязательно знать

• Энергия электрона в атоме квантована: принимает только определённые значения — энергетические уровни.
• Основное состояние — состояние с наименьшей энергией; возбуждённое — с большей. При поглощении энергии атом переходит в возбуждённое состояние, при возвращении испускает свет.
• Каждый элемент даёт свой линейчатый спектр; на этом основан спектральный анализ.
• Окраска пламени: литий и стронций — красная (карминовая), натрий — жёлтая, калий — фиолетовая, кальций — кирпично-красная, барий — жёлто-зелёная, медь — зелёная.

Разбор типичных формулировок

«Соль окрашивает пламя в жёлтый цвет. Какой металл в её составе?» Натрий. Жёлтую окраску дают две яркие линии натрия около 589 нм.

«Чем отличается возбуждённое состояние атома от основного?» Энергией: в возбуждённом состоянии один или несколько электронов находятся на более высоких уровнях или подуровнях, чем в основном. Возбуждённое состояние неустойчиво; возвращаясь в основное, атом отдаёт энергию.

27. Для олимпиад

Энергия уровня и длина волны

Длину волны перехода удобно считать по формуле $\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$. Для перехода 4 → 2: $\frac{1}{\lambda }=1,0968\cdot 10^7\cdot \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)=2,0565\cdot 10^6$ м⁻¹, λ = 486,3 нм — голубая линия Hβ. Для водородоподобного иона с зарядом ядра Z правая часть умножается на Z²: у He⁺ переход 4 → 2 даёт $\frac{1}{\lambda }$ в 4 раза больше, λ ≈ 121,6 нм (с учётом приведённой массы гелия — 121,5 нм), почти точно как линия Лаймана-альфа водорода.

Приведённая масса и изотопный сдвиг

Ядро не бесконечно тяжело, поэтому в формулы входит приведённая масса $\mu =\frac{m_{\mathrm{e}}M}{m_{\mathrm{e}}+M}$. Постоянная Ридберга для ядра массы M: $R_{\mathrm{M}}=\frac{R_{\infty }}{1+\frac{m_{\mathrm{e}}}{M}}$, где R_∞ = 1,09737·10⁷ м⁻¹. Для протия $\frac{m_{\mathrm{e}}}{M}=\frac{1}{1836}$, для дейтерия $\frac{1}{3671}$. Относительная разность длин волн линий протия и дейтерия $\frac{\Delta \lambda }{\lambda }\approx \frac{1}{1836}-\frac{1}{3671}\approx 2,72\cdot 10^{-4}$; для Hα (656,3 нм) это 0,18 нм — именно этот сдвиг искал Юри.

Сколько фотонов испускает лампа

Натриевая лампа мощностью 100 Вт испускает в виде света линий 589 нм, скажем, 30 Вт. Энергия одного фотона $E=\frac{1240}{589}=2,105$ эВ = 3,37·10⁻¹⁹ Дж. Число фотонов в секунду: $\frac{30}{3,37\cdot 10^{-19}}\approx 8,9\cdot 10^{19}$. Каждую секунду в лампе возбуждаются и возвращаются в основное состояние почти 10²⁰ атомов натрия — около 0,15 ммоль.

Опыт Франка и Герца количественно

Минимальная энергия возбуждения атома ртути — 4,9 эВ. Электрон, ускоренный напряжением 12 В, может возбудить не больше двух атомов (2 · 4,9 = 9,8 эВ), оставшись с энергией 2,2 эВ. Длина волны фотона, испускаемого возбуждённым атомом, $\lambda =\frac{1240}{4,89}\approx 254$ нм — в ультрафиолете, поэтому свечение паров ртути в таком опыте глазом не видно.

28. Задания с разбором

Задание 1

Найдите энергию фотона (в эВ и в джоулях) красного света с длиной волны 700 нм и фиолетового с длиной волны 400 нм.

Задание 2

Чем линейчатый спектр отличается от сплошного? Какой спектр дают: а) нить лампы накаливания; б) пары натрия в пламени; в) солнечный свет, прошедший через атмосферу Солнца?

Задание 3

Установите соответствие между металлом и окраской пламени: А) натрий; Б) калий; В) литий; Г) барий; Д) медь. 1) зелёная; 2) жёлтая; 3) карминово-красная; 4) фиолетовая; 5) жёлто-зелёная.

Задание 4

По формуле Бальмера $\lambda =364,56\cdot \frac{n^2}{n^2-4}$ нм вычислите длину волны линии при n = 5. Какой это цвет?

Задание 5

Вычислите энергии первых трёх уровней атома водорода по формуле Бора и энергию фотона при переходе с третьего уровня на второй.

Задание 6

Сколько энергии нужно, чтобы ионизовать атом водорода, находящийся на втором уровне? Свет какой наибольшей длины волны может это сделать?

Задание 7

Каков радиус третьей орбиты в атоме водорода по модели Бора? Во сколько раз он больше радиуса первой?

Задание 8

Почему холодный водород поглощает только ультрафиолетовые линии серии Лаймана, а не видимые линии серии Бальмера?

Задание 9

Сколько различных линий может испустить атом водорода, возбуждённый на четвёртый уровень, при всех возможных путях возвращения в основное состояние? Какие это переходы?

Задание 10

Энергия ионизации водорода 13,6 эВ. Найдите энергию ионизации иона Li²⁺ и выразите её в кДж/моль.

Задание 11

Работа выхода электрона из натрия 2,3 эВ. Вылетят ли электроны с поверхности натрия при освещении красным светом 650 нм? Зелёным светом 520 нм? Какова кинетическая энергия фотоэлектронов во втором случае?

Задание 12

Выберите верные утверждения. 1) Атом испускает свет при переходе с более высокого уровня на более низкий. 2) Энергия электрона в атоме может быть любой. 3) Спектр испускания разреженного газа из атомов — линейчатый. 4) Энергия фотона тем больше, чем больше длина волны. 5) Возбуждённое состояние атома имеет большую энергию, чем основное. 6) Линии поглощения элемента совпадают с его линиями испускания.

Задание 13

В опыте Франка и Герца ток через пары ртути падает при напряжениях 4,9, 9,8 и 14,7 В. Какую энергию поглощает атом ртути при неупругом столкновении? Какова длина волны испускаемого им затем излучения?

Задание 14

Вычислите длину волны первой линии серии Лаймана (переход 2 → 1) по формуле Ридберга, R_H = 1,0968·10⁷ м⁻¹.

Задание 15

Почему в спектре гелия больше линий, чем в спектре водорода, хотя у гелия только на один электрон больше?

Задание 16

Какая доля атомов натрия в пламени при 2000 К находится в возбуждённом состоянии 3p, если энергия возбуждения 2,1 эВ, а отношение заселённостей по закону Больцмана равно $\frac{g_2}{g_1}\cdot \exp \left(-\frac{\Delta E}{kT}\right)$, $\frac{g_2}{g_1}=3$, k = 8,617·10⁻⁵ эВ/К? (олимпиадное)

Задание 17 (олимпиадное)

Выведите из условия квантования mvr = nħ и равенства центростремительной и кулоновской сил формулу радиуса n-й орбиты атома водорода и вычислите a₀. ħ = 1,0546·10⁻³⁴ Дж·с, m = 9,109·10⁻³¹ кг, e = 1,602·10⁻¹⁹ Кл, ε₀ = 8,854·10⁻¹² Ф/м.

Задание 18 (олимпиадное)

Линия Hα протия имеет длину волны 656,28 нм. Где находится такая же линия дейтерия, если отношение масс электрона и ядра у протия $\frac{1}{1836}$, у дейтерия $\frac{1}{3671}$?

Задание 19 (олимпиадное)

Какая линия иона He⁺ совпадает по длине волны с линией Hα водорода (если не учитывать различие приведённых масс)?

Задание 20 (олимпиадное)

Покоящийся свободный электрон захватывается протоном сразу в основное состояние атома водорода. Какова длина волны испущенного фотона? Что будет, если электрон перед захватом имел кинетическую энергию 1,0 эВ?

Литература

1. Kragh H. Niels Bohr and the Quantum Atom: The Bohr Model of Atomic Structure 1913–1925. Oxford: Oxford University Press, 2012. DOI: 10.1093/acprof:oso/9780199654987.001.0001.
2. Bohr N. On the constitution of atoms and molecules // Philosophical Magazine. Ser. 6. 1913. Vol. 26, № 151. P. 1–25. DOI: 10.1080/14786441308634955.
3. Newton I. A letter of Mr. Isaac Newton… containing his new theory about light and colors // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1672. Vol. 6, № 80. P. 3075–3087. DOI: 10.1098/rstl.1671.0072.
4. Tiesinga E., Mohr P. J., Newell D. B., Taylor B. N. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018 // Reviews of Modern Physics. 2021. Vol. 93, № 2. Art. 025010. DOI: 10.1103/RevModPhys.93.025010.
5. Fraunhofer J. Bestimmung des Brechungs- und Farbenzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten, in Bezug auf die Vervollkommnung achromatischer Fernröhre // Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München für die Jahre 1814 und 1815. 1817. Bd. 5. S. 193–226.
6. Kirchhoff G., Bunsen R. Chemische Analyse durch Spectralbeobachtungen // Annalen der Physik. 1860. Bd. 186, № 6. S. 161–189. DOI: 10.1002/andp.18601860602.
7. Kirchhoff G., Bunsen R. Chemische Analyse durch Spectralbeobachtungen. Zweite Abhandlung // Annalen der Physik. 1861. Bd. 189, № 7. S. 337–381. DOI: 10.1002/andp.18611890702.
8. Balmer J. J. Notiz über die Spectrallinien des Wasserstoffs // Annalen der Physik. 1885. Bd. 261, № 5. S. 80–87. DOI: 10.1002/andp.18852610506.
9. Rydberg J. R. On the structure of the line-spectra of the chemical elements // Philosophical Magazine. Ser. 5. 1890. Vol. 29, № 179. P. 331–337. DOI: 10.1080/14786449008619945.
10. Planck M. Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum // Annalen der Physik. 1901. Bd. 309, № 3. S. 553–563. DOI: 10.1002/andp.19013090310.
11. Einstein A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt // Annalen der Physik. 1905. Bd. 322, № 6. S. 132–148. DOI: 10.1002/andp.19053220607.
12. Millikan R. A. A direct photoelectric determination of Planck’s “h” // Physical Review. 1916. Vol. 7, № 3. P. 355–388. DOI: 10.1103/PhysRev.7.355.
13. Franck J., Hertz G. Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und den Molekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 1914. Bd. 16. S. 457–467; переиздание: Physikalische Blätter. 1967. Bd. 23, № 7. S. 294–301. DOI: 10.1002/phbl.19670230702.
14. Urey H. C., Brickwedde F. G., Murphy G. M. A hydrogen isotope of mass 2 // Physical Review. 1932. Vol. 39, № 1. P. 164–165. DOI: 10.1103/PhysRev.39.164.
15. Walsh A. The application of atomic absorption spectra to chemical analysis // Spectrochimica Acta. 1955. Vol. 7. P. 108–117. DOI: 10.1016/0371-1951(55)80013-6.
16. Einstein A. Zur Quantentheorie der Strahlung // Physikalische Zeitschrift. 1917. Bd. 18. S. 121–128.
17. Gordon J. P., Zeiger H. J., Townes C. H. The maser — new type of microwave amplifier, frequency standard, and spectrometer // Physical Review. 1955. Vol. 99, № 4. P. 1264–1274. DOI: 10.1103/PhysRev.99.1264.
18. Maiman T. H. Stimulated optical radiation in ruby // Nature. 1960. Vol. 187, № 4736. P. 493–494. DOI: 10.1038/187493a0.
19. Coster D., Hevesy G. On the missing element of atomic number 72 // Nature. 1923. Vol. 111, № 2777. P. 79. DOI: 10.1038/111079a0.
20. Zeeman P. The effect of magnetisation on the nature of light emitted by a substance // Nature. 1897. Vol. 55, № 1424. P. 347. DOI: 10.1038/055347a0.
21. Hale G. E. On the probable existence of a magnetic field in sun-spots // The Astrophysical Journal. 1908. Vol. 28. P. 315–343. DOI: 10.1086/141602.
22. Sommerfeld A. Zur Quantentheorie der Spektrallinien // Annalen der Physik. 1916. Bd. 356, № 17. S. 1–94. DOI: 10.1002/andp.19163561702.
23. Brewer S. M., Chen J.-S., Hankin A. M. et al. ²⁷Al⁺ quantum-logic clock with a systematic uncertainty below 10⁻¹⁸ // Physical Review Letters. 2019. Vol. 123, № 3. Art. 033201. DOI: 10.1103/PhysRevLett.123.033201.
24. Parthey C. G., Matveev A., Alnis J. et al. Improved measurement of the hydrogen 1S–2S transition frequency // Physical Review Letters. 2011. Vol. 107, № 20. Art. 203001. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.203001.
25. Ewen H. I., Purcell E. M. Observation of a line in the galactic radio spectrum: radiation from galactic hydrogen at 1,420 Mc./sec. // Nature. 1951. Vol. 168, № 4270. P. 356. DOI: 10.1038/168356a0.
26. Saha M. N. Ionization in the solar chromosphere // Philosophical Magazine. Ser. 6. 1920. Vol. 40, № 238. P. 472–488. DOI: 10.1080/14786441008636148.
27. Payne C. H. Stellar Atmospheres: A Contribution to the Observational Study of High Temperature in the Reversing Layers of Stars. Cambridge (Mass.): Harvard Observatory, 1925. (Harvard Observatory Monographs; № 1).
28. Spite F., Spite M. Lithium abundance at the formation of the Galaxy // Nature. 1982. Vol. 297, № 5866. P. 483–485. DOI: 10.1038/297483a0.
29. Fields B. D. The primordial lithium problem // Annual Review of Nuclear and Particle Science. 2011. Vol. 61. P. 47–68. DOI: 10.1146/annurev-nucl-102010-130445.
30. Webb J. K., King J. A., Murphy M. T. et al. Indications of a spatial variation of the fine structure constant // Physical Review Letters. 2011. Vol. 107, № 19. Art. 191101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.191101.
31. ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов содержания для проведения единого государственного экзамена по химии, 2027 г. М.: ФИПИ, 2026.