Дифференцированные платежи
При дифференцированной схеме долг уменьшают равными долями: каждый год выплачивают \(\dfrac{S}{n}\) основного долга плюс проценты, начисленные на остаток. Платежи убывают, а выплаты процентов образуют арифметическую прогрессию.
Схема. Долг после \(i\) лет: \(S - \dfrac{iS}{n}\). Проценты за \(i\)-й год: \(\dfrac{r}{100}\) от остатка в начале года, то есть \(\dfrac{r}{100} \cdot S\left(1 - \dfrac{i - 1}{n}\right)\). Платёж \(i\)-го года: \(\dfrac{S}{n} + \) проценты. Общая переплата (сумма всех процентов): \[\Pi = \dfrac{r}{100} \cdot S \cdot \dfrac{n + 1}{2}.\] Общая выплата \(S + \Pi\).
Как это работает. Кредит 600 000 рублей взят на 4 года под 15 % годовых с дифференцированными платежами. Найдём первый и последний платежи и общую переплату.
- Основной долг гасится по \(150\,000\) в год. Проценты за первый год: \(0{,}15 \cdot 600\,000 = 90\,000\); первый платёж \(240\,000\).
- Остаток перед четвёртым годом \(150\,000\); проценты \(22\,500\); последний платёж \(172\,500\).
- Переплата: \(0{,}15 \cdot 600\,000 \cdot \dfrac{4 + 1}{2} = 225\,000\). Проверка: \(90\,000 + 67\,500 + 45\,000 + 22\,500 = 225\,000\). Ответ: 240 000; 172 500; 225 000.
Ещё пример. Общая сумма выплат по дифференцированному кредиту на 5 лет под 10 % составила 1 560 000 рублей. Найдите сумму кредита.
Решение. \(S + 0{,}1 \cdot S \cdot \dfrac{6}{2} = S + 0{,}3S = 1{,}3S = 1\,560\,000\), \(S = 1\,200\,000\). Ответ: 1 200 000 рублей.
Лайфхак. Переплата при дифференцированных платежах — это ставка, умноженная на сумму остатков долга в начале каждого года; остатки образуют арифметическую прогрессию \(S, S - \dfrac{S}{n}, \dots, \dfrac{S}{n}\), среднее — \(\dfrac{S(n + 1)}{2n}\), всего \(n\) слагаемых. Отсюда формула без заучивания.
Типичная ошибка. Начисляют проценты на весь долг каждый год, забывая, что он уменьшается. При дифференцированной схеме проценты каждый год меньше предыдущих.
На ЕГЭ. Задание 13: «Платежи уменьшаются равномерно… найдите общую сумму выплат», «Найдите ставку, если переплата составила …» — уравнение \(\dfrac{r}{100} S \dfrac{n + 1}{2} = \Pi\) линейно относительно \(r\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward