Формулы двойного угла и понижения степени
Формулы двойного угла связывают функции угла \(2\alpha\) с функциями угла \(\alpha\). У косинуса двойного угла три записи, и каждая нужна в своём месте: через обе функции, только через косинус и только через синус.
Формулы. \[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha,\] \[\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}, \qquad \cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}, \qquad \sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}.\] Последние две — формулы понижения степени, прочитанные «справа налево».
Как это работает. Найдём значение выражения \(\dfrac{24\sin 2\alpha}{5\cos\alpha}\), если \(\sin\alpha = 0{,}25\).
- Раскрываем двойной угол: \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).
- Сокращаем косинус: \(\dfrac{24 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{5\cos\alpha} = \dfrac{48\sin\alpha}{5}\).
- Подставляем: \(\dfrac{48 \cdot 0{,}25}{5} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\). Ответ: 2,4.
Ещё пример. Найдите \(\cos 2\alpha\), если \(\sin\alpha = -0{,}6\).
Решение. Берём запись через синус: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot 0{,}36 = 0{,}28\). Четверть знать не нужно: синус входит в квадрате. Ответ: 0,28.
Лайфхак. Выбирайте запись \(\cos 2\alpha\) по тому, что дано: известен синус — берите \(1 - 2\sin^2\alpha\); известен косинус — \(2\cos^2\alpha - 1\). Формулы работают и для других «двойных» пар: \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha\), \(\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\).
Типичная ошибка. \(\sin 2\alpha \ne 2\sin\alpha\). Проверка: при \(\alpha = 30^\circ\) слева \(\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}\), справа \(2 \cdot \dfrac12 = 1\).
На ЕГЭ. Задание 8: «\(\dfrac{5\sin 2\alpha}{\cos\alpha}\) при \(\sin\alpha = 0{,}3\)» (ответ 3), «\(\cos 2\alpha\) при \(\cos\alpha = -0{,}8\)» (ответ 0,28). В задании 14 запись \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) сводит уравнение \(\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0\) к квадратному относительно \(\sin x\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward