Формулы приведения
Формулы приведения выражают тригонометрическую функцию угла \(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\pi \pm \alpha\), \(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\), \(2\pi - \alpha\) через функцию острого угла \(\alpha\). Запоминать все 32 формулы не нужно — есть правило из двух шагов.
Правило. 1) Знак. Считаем \(\alpha\) острым, определяем четверть исходного угла и ставим знак, который имеет исходная функция в этой четверти. 2) Название. Если угол отложен от вертикальной оси (\(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\), \(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\)), функция меняется на кофункцию: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если от горизонтальной (\(\pi \pm \alpha\), \(2\pi - \alpha\)) — название сохраняется. Примеры: \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\), \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha\), \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\), \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha\).
Как это работает. Упростим \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)\).
- Знак: при остром \(\alpha\) угол \(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\) лежит в четвёртой четверти, где косинус положителен. Знак «плюс».
- Название: угол отложен от вертикальной оси (\(\dfrac{3\pi}{2}\)), значит, косинус меняется на синус.
- Итог: \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha\). Проверим при \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}\): \(\cos\dfrac{10\pi}{6} = \cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac12 = \sin\dfrac{\pi}{6}\). Верно.
Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{7\sin 236^\circ}{\sin 56^\circ}\).
Решение. \(236^\circ = 180^\circ + 56^\circ\), и \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha\). Дробь равна \(\dfrac{-7\sin 56^\circ}{\sin 56^\circ} = -7\). Ответ: \(-7\).
Лайфхак. Чтобы привести «некрасивый» угол, представьте его как ближайший угол на оси плюс или минус остаток: \(236^\circ = 180^\circ + 56^\circ\), \(\dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{12}\). Чем ближе ось, тем меньше остаток.
Типичная ошибка. Знак берут у новой функции, а нужно — у исходной: для \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)\) смотрят на знак синуса во второй четверти (плюс), поэтому \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha\).
На ЕГЭ. Задание 8: «Найдите \(\dfrac{12\cos 127^\circ}{\sin 37^\circ}\)» — \(\cos 127^\circ = \cos(90^\circ + 37^\circ) = -\sin 37^\circ\), ответ \(-12\). В задании 14 формулы приведения превращают \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)\) в \(-\sin x\), после чего уравнение становится стандартным.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward