Независимые события и умножение вероятностей

11 заданий

События независимы, если исход одного не влияет на шансы другого: бросок двух монет, работа двух независимых датчиков, выстрелы разных стрелков. Вероятность того, что произойдут оба, равна произведению вероятностей.

Формула. Для независимых \(A\) и \(B\): \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).\] Для серии из \(n\) независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\): все успехи — \(p^n\), все неудачи — \((1 - p)^n\), конкретная последовательность исходов — произведение соответствующих множителей. Вероятность «хотя бы один успех» \(= 1 - (1 - p)^n\).

Как это работает. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Найдём вероятность того, что он попадёт первые три раза и промахнётся последние два из пяти выстрелов.

Выстрелы независимы. Попадание — 0,8, промах — \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\).
Нужная последовательность: \(0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2\).
\(0{,}512 \cdot 0{,}04 = 0{,}02048\). Ответ: 0,02048.

Ещё пример. Две лампы в люстре перегорают в течение года независимо друг от друга с вероятностью 0,3 каждая. Найдите вероятность того, что в течение года перегорит хотя бы одна.
Решение. Противоположное событие — не перегорит ни одна: \(0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49\). Хотя бы одна: \(1 - 0{,}49 = 0{,}51\). Ответ: 0,51.

Лайфхак. Задача со словами «первые … попал, остальные промахнулся» — просто произведение; задача «ровно \(k\) попаданий из \(n\)» требует ещё посчитать число расстановок (схема Бернулли, урок 8). Различайте «конкретный порядок» и «любой порядок».

Типичная ошибка. Умножают вероятности зависимых событий: вынимание двух шаров без возвращения — второе событие зависит от первого, и нужна условная вероятность (урок 5).

На ЕГЭ. Задание 5: стрелок, лампочки, кофейные автоматы («кофе закончится хотя бы в одном автомате» — через противоположное событие и формулу сложения для совместных, если автоматы зависимы).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward