Противоположное событие. Несовместные события

11 заданий

Событие \(\bar A\) («не \(A\)») происходит тогда и только тогда, когда \(A\) не происходит; их вероятности в сумме дают 1. События несовместны, если не могут произойти одновременно; вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей.

Формулы. \[P(\bar A) = 1 - P(A); \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \text{ для несовместных } A, B.\] «Хотя бы один» часто считают через противоположное событие «ни одного». Если события \(A_1, \dots, A_k\) попарно несовместны и образуют все возможные исходы, сумма их вероятностей равна 1.

Как это работает. Вероятность того, что новый телефон прослужит больше года, равна 0,93; больше двух лет — 0,81. Найдём вероятность того, что телефон прослужит больше года, но меньше двух.

Событие «больше года» распадается на два несовместных: «от года до двух» и «больше двух лет».
\(0{,}93 = P(\text{от года до двух}) + 0{,}81\).
\(P = 0{,}93 - 0{,}81 = 0{,}12\). Ответ: 0,12.

Ещё пример. При изготовлении деталей в среднем 3 из 1000 бракованные. Найдите вероятность купить исправную деталь.
Решение. Противоположное событие — брак, \(P = 0{,}003\). Исправная: \(1 - 0{,}003 = 0{,}997\). Ответ: 0,997.

Лайфхак. Слова «не», «хотя бы один», «ни одного» — сигнал перейти к противоположному событию. Слова «или», «либо … либо» для несовместных событий — сложение вероятностей.

Типичная ошибка. Складывают вероятности совместных событий: вероятность «выпало чётное или больше 3» на кубике не равна \(\dfrac12 + \dfrac12 = 1\). Числа 4 и 6 учтены дважды — нужна формула следующих уроков.

На ЕГЭ. Задание 4–5: «Вероятность того, что ручка пишет плохо, равна 0,1; найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо» — противоположное событие. Задачи о «сроке службы» — разбиение на несовместные промежутки.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward