Совместные события: формула сложения

11 заданий

Если события могут произойти одновременно, то при сложении их вероятностей общая часть учитывается дважды. Поэтому вероятность пересечения вычитают — это та же формула включений-исключений, что и для множеств.

Формула. \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).\] Для независимых событий \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\). Если известна вероятность «хотя бы одного» и обе отдельные вероятности, пересечение находят из этой формулы. Диаграмма Эйлера — Венна с двумя кругами — удобный способ записать все четыре области: только \(A\), только \(B\), оба, ни одного.

Как это работает. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в первом автомате, равна 0,3; во втором — тоже 0,3; в обоих — 0,12. Найдём вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном: \(0{,}3 + 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}48\).
Противоположное событие — кофе останется в обоих.
\(1 - 0{,}48 = 0{,}52\). Ответ: 0,52.

Ещё пример. Вероятность того, что ученик решит первую задачу, равна 0,7, вторую — 0,6; события независимы. Найдите вероятность того, что он решит хотя бы одну задачу.
Решение. \(P = 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}7 \cdot 0{,}6 = 1{,}3 - 0{,}42 = 0{,}88\). Проверка через противоположное: \(1 - 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}88\). Ответ: 0,88.

Лайфхак. Если сумма вероятностей получилась больше 1, вы точно забыли вычесть пересечение. Вероятность объединения всегда не больше суммы и не меньше каждой из вероятностей.

Типичная ошибка. В задаче про автоматы считают \(P(\text{в обоих закончится}) = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09\), хотя в условии дано 0,12: события зависимы (общий поток покупателей), и умножать нельзя.

На ЕГЭ. Задание 5: автоматы с кофе — классика. Формула сложения также нужна в задачах про «попал хотя бы один из двух стрелков» и в задачах с диаграммами Эйлера — Венна.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward