Условная вероятность и дерево вероятностей

Если первое событие меняет шансы второго, вероятности перемножают с учётом этого изменения: вероятность второго события считают при условии, что первое уже произошло. Удобнее всего рисовать дерево: ветви — исходы, на ветвях — вероятности.

Как это работает. В коробке 4 красных и 6 синих карандашей. Наугад вынимают два без возвращения. Найдём вероятность того, что оба красные, и вероятность того, что второй карандаш красный.

1. Первый красный: \(\dfrac{4}{10}\). При этом условии второй красный: \(\dfrac{3}{9}\). Оба красные: \(\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}\).
2. Второй красный двумя путями: (красный, красный) — \(\dfrac{2}{15}\); (синий, красный) — \(\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{90} = \dfrac{4}{15}\).
3. Сумма \(\dfrac{2}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4\) — столько же, сколько для первого карандаша. Ответ: \(\dfrac{2}{15}\); 0,4.

Ещё пример. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,8. Если первый сдан, второй он сдаёт с вероятностью 0,9, если нет — с вероятностью 0,5. Найдите вероятность того, что оба экзамена сданы.
Решение. Путь «сдал — сдал»: \(0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72\). Ответ: 0,72.