Угол между скрещивающимися прямыми

11 заданий

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, но угол между ними определён: это угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным. Одну из прямых переносят параллельно так, чтобы она пересекла другую, и находят угол в получившемся треугольнике.

Алгоритм. 1) Через точку одной прямой провести прямую, параллельную другой (в кубе и призме — перенести ребро или диагональ на параллельную грань). 2) Получить треугольник с известными сторонами. 3) Найти угол теоремой косинусов или из прямоугольного треугольника. Угол между прямыми не превосходит \(90^\circ\): если получился тупой угол, берут смежный. Координатный способ: \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a| \cdot |\vec b|}\).

Как это работает. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 1 найдём угол между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\).

\(BC_1 \parallel AD_1\) (противоположные стороны прямоугольника \(ABC_1D_1\)). Значит, искомый угол равен углу между \(AB_1\) и \(AD_1\).
Треугольник \(AB_1D_1\): все стороны — диагонали граней, равны \(\sqrt2\): равносторонний.
Угол \(B_1AD_1 = 60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\).

Ещё пример. В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\).
Решение. Координаты: \(A(0; 0; 0)\), \(B(1; 0; 0)\), \(C\left(\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}; 0\right)\), \(B_1(1; 0; 1)\), \(C_1\left(\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}; 1\right)\). \(\vec{AB_1} = (1; 0; 1)\), \(\vec{BC_1} = \left(-\dfrac12; \dfrac{\sqrt3}{2}; 1\right)\). \(\cos\varphi = \dfrac{|-\dfrac12 + 0 + 1|}{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \dfrac{1}{4}\). Ответ: 0,25.

Лайфхак. В кубе и прямоугольном параллелепипеде угол между диагоналями граней, выходящими из одной вершины, равен \(60^\circ\) (куб) — треугольник из трёх диагоналей граней равносторонний. Диагональ куба перпендикулярна диагонали грани, которую она не пересекает.

Типичная ошибка. Берут в ответ тупой угол треугольника. Угол между прямыми — острый или прямой: если косинус получился отрицательным, берут его модуль.

На ЕГЭ. Задание 15, пункт б): «найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\)», «между диагональю куба и ребром». Координатный способ надёжен, когда геометрический перенос трудно увидеть.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward