Арифметический квадратный корень

12 заданий

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\): \(\sqrt{a} = b\), если \(b \ge 0\) и \(b^2 = a\). Например, \(\sqrt{49} = 7\), \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), \(\sqrt{0} = 0\). Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Полезно помнить: \(\sqrt{a^2} = |a|\), поэтому \(\sqrt{(-5)^2} = 5\).

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	25
\(n^2\)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	625

Оценка корня. Если \(n^2 \lt m \lt (n + 1)^2\), то \(n \lt \sqrt{m} \lt n + 1\). Чем ближе \(m\) к одному из квадратов, тем ближе корень к соответствующему целому числу.

\(64 \lt 77 \lt 81\), поэтому \(\sqrt{77}\) лежит между 8 и 9, ближе к 9

Пример. На координатной прямой отмечены точки, одна из них соответствует числу \(\sqrt{77}\). Как её найти?
Решение. \(8^2 = 64\), \(9^2 = 81\), значит \(8 \lt \sqrt{77} \lt 9\). Число 77 ближе к 81, чем к 64, поэтому \(\sqrt{77} \approx 8{,}8\) — ищем точку между 8 и 9, ближе к 9.

Лайфхак. Чтобы сравнить корень с числом, возведите оба в квадрат: \(\sqrt{50}\) и 7 — сравниваем 50 и 49, значит \(\sqrt{50} \gt 7\). Так же проверяют, принадлежит ли \(\sqrt{55}\) промежутку \([7;\ 8]\): \(49 \le 55 \le 64\) — принадлежит.

Ловушка ОГЭ. Квадраты чисел до 20 нужно знать наизусть — на экзамене нет калькулятора. Особенно часто путают \(13^2 = 169\), \(14^2 = 196\), \(15^2 = 225\), \(17^2 = 289\).

Корень из смешанного числа. Смешанное число сначала записывают неправильной дробью. Пример. \(\sqrt{1\dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\).

Ловушка ОГЭ. \(\sqrt{1\dfrac{9}{16}} \ne 1 + \dfrac{3}{4}\): корень из суммы не равен сумме корней. Проверка: \(1{,}75^2 = 3{,}0625\), а не \(1{,}5625\).

Пример. Между какими целыми числами заключено число \(\sqrt{58}\)?
Решение. Ближайшие точные квадраты: \(49 \lt 58 \lt 64\), поэтому \(7 \lt \sqrt{58} \lt 8\). Так как 58 ближе к 64, корень ближе к 8: \(\sqrt{58} \approx 7{,}6\).

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward