Формулы сокращённого умножения

11 заданий

Формула	Пример «слева направо»	Пример «справа налево»
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)	\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)	\(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)	\((2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\)	\(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\)
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)	\((x - 4)(x + 4) = x^2 - 16\)	\(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\)
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)	\((x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)	—
\(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\)	\(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)	—

Формулы читают в обе стороны: слева направо — чтобы раскрыть скобки, справа налево — чтобы разложить на множители. Разность квадратов — самая частая формула ОГЭ: она нужна в уравнениях \(x^2 - 9 = 0\), в неравенствах \(x^2 - 16 \le 0\) и при сокращении дробей.

Пример. Вычислите \(51^2\) без столбика.
Решение. \(51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601\). Аналогично \(29\cdot 31 = (30 - 1)(30 + 1) = 900 - 1 = 899\).

Ловушка ОГЭ. \((a + b)^2 \ne a^2 + b^2\) — потерянное удвоенное произведение \(2ab\) является самой распространённой ошибкой. Проверьте на числах: \((2 + 3)^2 = 25\), а \(2^2 + 3^2 = 13\).

Лайфхак. Узнавайте полный квадрат по трём признакам: два слагаемых — квадраты, третье — удвоенное произведение их оснований. \(x^2 + 6x + 9\): квадраты \(x\) и 3, удвоенное произведение \(2\cdot x\cdot 3 = 6x\) — да, это \((x + 3)^2\).

Формулы сокращённого умножения с корнями. Разность квадратов убирает корни: \((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2\). Квадрат суммы даёт «удвоенное произведение»: \((\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3\), поэтому \((\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 - 2\sqrt{18} = 9\).

Лайфхак. Увидели два одинаковых корня в скобках с разными знаками — сразу применяйте разность квадратов, раскрывать скобки почленно не нужно.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward