Квадратичная функция
Квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)); её график — парабола. Ветви направлены вверх при \(a \gt 0\) и вниз при \(a \lt 0\); чем больше \(|a|\), тем «уже» парабола. Вершина имеет абсциссу \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\), ордината вершины — значение функции в этой точке. График пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;\ c)\), а ось \(Ox\) — в корнях уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
| Формула | Вершина | Что видно на графике |
|---|---|---|
| \(y = x^2\) | \((0;\ 0)\) | ветви вверх, симметрична относительно оси \(Oy\) |
| \(y = x^2 + c\) | \((0;\ c)\) | парабола \(y = x^2\), сдвинутая на \(c\) вверх |
| \(y = (x - m)^2\) | \((m;\ 0)\) | сдвинута на \(m\) вправо |
| \(y = -x^2\) | \((0;\ 0)\) | ветви вниз |
Пример. Найдите вершину параболы \(y = x^2 - 4x + 1\).
Решение. \(x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2\), \(y_0 = 4 - 8 + 1 = -3\). Вершина \((2;\ -3)\), ветви вверх — наименьшее значение функции равно \(-3\).
Лайфхак. Знак \(a\) — по направлению ветвей, знак \(c\) — по точке пересечения с осью \(Oy\) (выше нуля — плюс, ниже — минус). Знак \(b\) — по положению вершины: при \(a \gt 0\) вершина справа от оси \(Oy\) означает \(b \lt 0\), слева — \(b \gt 0\); при \(a \lt 0\) наоборот.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward