Квадратные неравенства
Неравенство \(ax^2 + bx + c \gt 0\) (или \(\lt\), \(\ge\), \(\le\)) решают в три шага: найти корни трёхчлена, схематично нарисовать параболу (ветви вверх при \(a \gt 0\), вниз при \(a \lt 0\)), выбрать промежутки, где парабола выше или ниже оси.
| Неравенство | Корни | Решение |
|---|---|---|
| \(x^2 - 25 \le 0\) | \(\pm 5\) | \([-5;\ 5]\) — между корнями парабола ниже оси |
| \(x^2 - 9 \gt 0\) | \(\pm 3\) | \((-\infty;\ -3) \cup (3;\ +\infty)\) |
| \(x^2 + 3x - 4 \gt 0\) | \(-4\), \(1\) | \((-\infty;\ -4) \cup (1;\ +\infty)\) |
| \(x^2 + 1 \gt 0\) | нет корней | любое число — парабола вся выше оси |
| \(x^2 + 4 \le 0\) | нет корней | нет решений |
Пример. Решите неравенство \((x + 3)(x - 2) \gt 0\).
Решение. Корни \(-3\) и \(2\), ветви вверх, произведение положительно вне корней: \((-\infty;\ -3) \cup (2;\ +\infty)\).
Квадратное неравенство без корней. Если дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось абсцисс и при \(a \gt 0\) целиком лежит над ней. Так, в дополнение к примеру с \(x^2 + 16\): \(x^2 - 6x + 10 \gt 0\) верно при всех \(x\), а \(x^2 - 6x + 10 \lt 0\) решений не имеет (\(D = 36 - 40 \lt 0\)). Так строятся задания 13 «укажите неравенство, которое не имеет решений».
Неравенство с корнем в коэффициенте (задание 20). \((x - 2)^2 \lt \sqrt{3}(x - 2)\). Переносим и выносим множитель: \((x - 2)(x - 2 - \sqrt{3}) \lt 0\). Нули: \(2\) и \(2 + \sqrt{3}\); произведение отрицательно между ними. Ответ: \((2;\ 2 + \sqrt{3})\).
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward