Отношения площадей

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: если стороны увеличить в 3 раза, площадь увеличится в 9 раз. Треугольники с общей высотой имеют площади, пропорциональные основаниям; треугольники с общим основанием — пропорциональные высотам. Медиана делит треугольник на два равновеликих.

Пример. Диагонали трапеции с основаниями \(BC = 4\) и \(AD = 8\) пересекаются в точке \(O\), площадь треугольника \(BOC\) равна 3. Найдите площадь трапеции.
Решение. Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны с коэффициентом 2, \(S_{AOD} = 12\). Треугольники \(ABO\) и \(BOC\) имеют общую высоту из \(B\), их площади относятся как \(AO : OC = 2\), значит \(S_{ABO} = 6\); так же \(S_{DCO} = 6\). Всего \(3 + 12 + 6 + 6 = 27\).

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность (задание 25). Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки \(m\) и \(n\). Тогда катеты равны \(m + r\) и \(n + r\), и из теоремы Пифагора \(r^2 + (m + n)r = mn\), откуда площадь \(S = \dfrac{(m + r)(n + r)}{2} = mn\). Пример. \(m = 4\), \(n = 6\): \(S = 24\) (это треугольник 6, 8, 10).