Прогрессии в практических задачах
| Ситуация | Прогрессия | Что искать |
|---|---|---|
| В каждом следующем ряду амфитеатра на 2 места больше | арифметическая, \(d = 2\) | мест в последнем ряду — \(a_n\); всего мест — \(S_n\) |
| Курьер каждый день доставляет на 3 заказа больше | арифметическая | всего за \(n\) дней — \(S_n\) |
| Температура растёт на 5° в минуту | арифметическая | температура через \(n\) минут |
| Число бактерий удваивается каждый час | геометрическая, \(q = 2\) | \(b_1\cdot 2^{n}\) через \(n\) часов |
| Вклад под 10 % годовых | геометрическая, \(q = 1{,}1\) | \(S_0\cdot 1{,}1^n\) |
| Масса изотопа уменьшается вдвое за период | геометрическая, \(q = 0{,}5\) | \(m_0\cdot 0{,}5^n\) |
Пример. В амфитеатре 10 рядов, в первом ряду 20 мест, в каждом следующем на 2 больше. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение. \(a_1 = 20\), \(d = 2\), \(n = 10\): \(S_{10} = \dfrac{2\cdot 20 + 9\cdot 2}{2}\cdot 10 = 290\). Ответ: 290.
Пример. Вкладчик положил 20 000 рублей под 10 % годовых. Сколько будет на счёте через 2 года?
Решение. \(20000\cdot 1{,}1^2 = 20000\cdot 1{,}21 = 24200\) рублей.
Схема приёма лекарства (задание 14). В первый день 20 капель, каждый следующий — на 3 больше; дойдя до 29 капель, пациент ещё 3 дня пьёт по 29, затем каждый день уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков по 250 капель нужно на курс?
Решение. Рост: 20, 23, 26, 29 — сумма \(\dfrac{20 + 29}{2}\cdot 4 = 98\). Ещё три дня: \(3\cdot 29 = 87\). Спад: 26, 23, …, 2 — это 9 чисел, сумма \(\dfrac{26 + 2}{2}\cdot 9 = 126\). Всего \(98 + 87 + 126 = 311\) капель, нужно 2 пузырька (\(311 : 250 \approx 1{,}2\), округляем вверх).
Сумма известна — найти член. Грузовик перевёз за 14 дней 210 т щебня, в первый день — 2 т, каждый день на одно и то же число тонн больше. Из формулы суммы \(210 = \dfrac{2\cdot 2 + 13d}{2}\cdot 14\), откуда \(4 + 13d = 30\), \(d = 2\). Тогда за девятый день перевезено \(a_9 = 2 + 8\cdot 2 = 18\) т.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward