Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора и тригонометрия

13 заданий

Катеты \(a\), \(b\), гипотенуза \(c\); \(\sin\alpha = \dfrac{a}{c}\), \(\cos\alpha = \dfrac{b}{c}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}\)

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, \(c^2 = a^2 + b^2\). Тройки целых чисел, для которых это выполняется: \(3\)–\(4\)–\(5\), \(6\)–\(8\)–\(10\), \(5\)–\(12\)–\(13\), \(8\)–\(15\)–\(17\), \(7\)–\(24\)–\(25\), \(9\)–\(12\)–\(15\).

Функция	Определение	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
синус	противолежащий катет к гипотенузе	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
косинус	прилежащий катет к гипотенузе	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)
тангенс	противолежащий катет к прилежащему	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Высота, проведённая к гипотенузе, равна \(\dfrac{ab}{c}\) (из равенства двух выражений площади).

Пример. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(AC = 12\), \(BC = 5\). Найдите \(\sin A\).
Решение. \(AB = \sqrt{144 + 25} = 13\); \(\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{5}{13}\). Такой ответ в бланк не записать — в реальном задании гипотенуза и катет подобраны так, чтобы дробь была конечной: при \(AC = 8\), \(BC = 6\) получим \(AB = 10\) и \(\sin A = 0{,}6\).

Лайфхак. Синус — «противолежащий», косинус — «прилежащий», оба делят на гипотенузу; тангенс — синус, делённый на косинус. Если в задаче дан \(\sin A = 0{,}6\), сразу представляйте треугольник \(3\)–\(4\)–\(5\): \(\cos A = 0{,}8\), \(\operatorname{tg} A = 0{,}75\).

Закрепите теорию: 13 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward