Расстояние между точками и середина отрезка

Расстояние между точками \(A(x_1;\ y_1)\) и \(B(x_2;\ y_2)\) находят по теореме Пифагора: отрезок \(AB\) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(|x_2 - x_1|\) и \(|y_2 - y_1|\), поэтому \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов: \(M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2};\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\). Для \(A(1;\ 1)\) и \(B(5;\ 4)\) середина \(M(3;\ 2{,}5)\).

Пример. На клетчатой бумаге с клеткой \(1\times 1\) отмечены точки \(A\) и \(B\); по горизонтали между ними 6 клеток, по вертикали 8. Найдите расстояние \(AB\).
Решение. \(AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\). Ответ: 10.

Пример. Даны точки \(A(-3;\ 5)\) и \(B(5;\ -1)\). Середина \(AB\): \(\left(\dfrac{-3 + 5}{2};\ \dfrac{5 - 1}{2}\right) = (1;\ 2)\); длина \(AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\).

Точки пересечения прямой с осями. Прямая \(y = 2x - 6\) пересекает ось ординат при \(x = 0\) в точке \((0;\ -6)\), ось абсцисс — при \(y = 0\), то есть \(2x - 6 = 0\), в точке \((3;\ 0)\).