Равнобедренный и равносторонний треугольники

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, третья — основанием. Углы при основании равны; медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Обратно: если два угла треугольника равны, он равнобедренный. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), а все медианы, биссектрисы и высоты равны между собой.

Пример. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC\), \(\angle ABC = 122^\circ\). Найдите угол \(BCA\).
Решение. Углы при основании \(AC\) равны и в сумме дают \(180^\circ - 122^\circ = 58^\circ\), значит \(\angle BCA = 29^\circ\).

Пример. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AK\); \(\angle C = 25^\circ\) и \(AK = CK\). Найдите угол \(B\).
Решение. Треугольник \(AKC\) равнобедренный, поэтому \(\angle KAC = \angle C = 25^\circ\). Тогда \(\angle BAC = 2\cdot 25^\circ = 50^\circ\) и \(\angle B = 180^\circ - 50^\circ - 25^\circ = 105^\circ\).

Формулы равностороннего треугольника со стороной \(a\). Высота (она же медиана и биссектриса) \(h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\); точка пересечения медиан — центр вписанной и описанной окружностей, поэтому \(r = \dfrac{h}{3}\), \(R = \dfrac{2h}{3}\). Пример. Сторона \(10\sqrt{3}\): \(h = \dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = 15\), \(r = 5\), \(R = 10\).