Степень с рациональным показателем

Для положительного основания степень с дробным показателем определяют через корень: \(a^{\dfrac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\) и \(a^{\dfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Например, \(9^{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\), \(8^{\dfrac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\), \(16^{0{,}5} = 4\), \(27^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{3}\).

Все пять свойств степени сохраняются и для дробных показателей: \(2^{\dfrac{1}{2}}\cdot 2^{\dfrac{1}{2}} = 2^1 = 2\), что согласуется с \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2\).

Пример. \(4^{1{,}5} = 4^{\dfrac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\).

Буквенные выражения: сначала упростить, потом подставить. Пример. Найдите значение \(\dfrac{a^{-3}\cdot a^{8}}{a^{2}}\) при \(a = 4\).
Решение. Показатели складываем и вычитаем: \(a^{-3 + 8 - 2} = a^{3}\). При \(a = 4\): \(4^3 = 64\). Подставлять 4 сразу в исходное выражение гораздо дольше: пришлось бы считать \(4^{-3} = \dfrac{1}{64}\) и \(4^8 = 65\,536\).

Дробь в отрицательной степени переворачивается: \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^{2} = \dfrac{25}{4} = 6{,}25\).