Свойства корней n-й степени
| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Корень из произведения | \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) | \(\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2\) |
| Корень из частного | \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) | \(\dfrac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{125} = 5\) |
| Корень в степени | \((\sqrt[n]{a})^n = a\) | \((\sqrt[3]{7})^3 = 7\) |
| Корень из степени | \(\sqrt[n]{a^n} = a\) при нечётном \(n\), \(= |a|\) при чётном | \(\sqrt[4]{(-3)^4} = 3\) |
| Дробный показатель | \(a^{\dfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) | \(8^{\dfrac{2}{3}} = 4\) |
Пример. Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{54}\cdot\sqrt[3]{4}\).
Решение. \(\sqrt[3]{54\cdot 4} = \sqrt[3]{216} = 6\). Ответ: 6.
Ловушка ОГЭ. Свойства корней работают только для умножения и деления: \(\sqrt[3]{a + b} \ne \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\). И следите за чётностью: \(\sqrt[4]{(-3)^4} = 3\), а не \(-3\).
Из истории. Задача об удвоении куба — построить циркулем и линейкой ребро куба вдвое большего объёма, то есть отрезок длиной \(\sqrt[3]{2}\), — известна с V века до нашей эры. Лишь в XIX веке доказали, что такое построение невозможно: \(\sqrt[3]{2}\) не выражается через квадратные корни.
Пример. \(\sqrt{2^4\cdot 5^2} = 2^2\cdot 5 = 20\): корень из степени с чётным показателем — половина показателя. Пример. \(\dfrac{\sqrt{32}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{32\cdot 6}{3}} = \sqrt{64} = 8\): все корни удобно собрать под один знак.
Ловушка ОГЭ. Корень из суммы не равен сумме корней: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), а \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\). Складывать под корнем можно только числа, а не корни.
Закрепите теорию: 10 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward