Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны). Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\). Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме: \(MN = \dfrac{a + b}{2}\).

Пример. Основания трапеции равны 2 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из диагоналей.
Решение. Диагональ делит трапецию на два треугольника, а средняя линия трапеции — на их средние линии, равные половинам оснований: 1 и 4,5. Больший отрезок 4,5.

Пример. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 10, боковая сторона 5. Найдите высоту.
Решение. Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего отрезки по \(\dfrac{10 - 4}{2} = 3\); высота \(\sqrt{25 - 9} = 4\).

Трапеция с перпендикулярными диагоналями. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, её высота равна средней линии: \(h = \dfrac{a + b}{2}\). Проведите через вершину меньшего основания прямую, параллельную диагонали: получится равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой \(a + b\), высота которого равна половине гипотенузы. Пример. Основания 7 и 17: \(h = 12\), \(S = 12\cdot 12 = 144\).

Трапеция с суммой углов при основании \(90^\circ\) (задание 25). Продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. Если средняя линия равна 17, а этот отрезок равен 10, то \(\dfrac{a + b}{2} = 17\), \(\dfrac{a - b}{2} = 10\), откуда \(a = 27\), \(b = 7\).